Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14611 / 21947
↖ ↑ ↗
← S 52.018698°
W 19.478760°		 ← 751.80 m → S 52.018698°
W 19.467773°		 →
↑
751.78 m
↓
↑
751.78 m
↓
S 52.025459°
W 19.478760°		 ← 751.69 m →
565 146 m²		 S 52.025459°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445907592773438 y=0.669784545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445907592773438 × 215)
    floor (0.445907592773438 × 32768)
    floor (14611.5)     		tx = 14611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669784545898438 × 215)
    floor (0.669784545898438 × 32768)
    floor (21947.5)     		ty = 21947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14611 / 21947 ti = "15/14611/21947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14611/21947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14611 ÷ 215
    14611 ÷ 32768     		x = 0.445892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21947 ÷ 215
    21947 ÷ 32768     		y = 0.669769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.10821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33996849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.33953857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06669189034549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33996849} λ = -0.33996849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06669189034549))-π/2
    2×atan(0.344145106150307)-π/2
    2×0.33144938634929-π/2
    0.662898772698579-1.57079632675     		φ = -0.90789755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33996849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.478760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90789755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.018698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14611 KachelY 21947 -0.33996849 -0.90789755 -19.478760 -52.018698
    Oben rechts KachelX + 1 14612 KachelY 21947 -0.33977674 -0.90789755 -19.467773 -52.018698
    Unten links KachelX 14611 KachelY + 1 21948 -0.33996849 -0.90801555 -19.478760 -52.025459
    Unten rechts KachelX + 1 14612 KachelY + 1 21948 -0.33977674 -0.90801555 -19.467773 -52.025459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90789755--0.90801555) × R
    0.000117999999999951 × 6371000     		dl = 751.777999999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90789755--0.90801555) × R
    0.000117999999999951 × 6371000     		dr = 751.777999999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33996849--0.33977674) × cos(-0.90789755) × R
    0.000191749999999991 × 0.615404283935012 × 6371000     		do = 751.802027873118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33996849--0.33977674) × cos(-0.90801555) × R
    0.000191749999999991 × 0.615311270678919 × 6371000     		du = 751.688399228704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90789755)-sin(-0.90801555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615404283935012-0.615311270678919)×R²
    abs(-0.33977674--0.33996849)×9.30132560932329e-05×R²
    0.000191749999999991×9.30132560932329e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.30132560932329e-05×40589641000000     		ar = 565145.513808129m²