Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14606 / 21945
↖ ↑ ↗
← S 52.005174°
W 19.533691°		 ← 752.03 m → S 52.005174°
W 19.522705°		 →
↑
751.97 m
↓
↑
751.97 m
↓
S 52.011936°
W 19.533691°		 ← 751.92 m →
565 460 m²		 S 52.011936°
W 19.522705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445755004882812 y=0.669723510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445755004882812 × 215)
    floor (0.445755004882812 × 32768)
    floor (14606.5)     		tx = 14606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669723510742188 × 215)
    floor (0.669723510742188 × 32768)
    floor (21945.5)     		ty = 21945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14606 / 21945 ti = "15/14606/21945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14606/21945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14606 ÷ 215
    14606 ÷ 32768     		x = 0.44573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21945 ÷ 215
    21945 ÷ 32768     		y = 0.669708251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.1085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34092723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.33941650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06630839514853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34092723} λ = -0.34092723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06630839514853))-π/2
    2×atan(0.344277109455272)-π/2
    2×0.331567406477504-π/2
    0.663134812955009-1.57079632675     		φ = -0.90766151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34092723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.533691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90766151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.005174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14606 KachelY 21945 -0.34092723 -0.90766151 -19.533691 -52.005174
    Oben rechts KachelX + 1 14607 KachelY 21945 -0.34073548 -0.90766151 -19.522705 -52.005174
    Unten links KachelX 14606 KachelY + 1 21946 -0.34092723 -0.90777954 -19.533691 -52.011936
    Unten rechts KachelX + 1 14607 KachelY + 1 21946 -0.34073548 -0.90777954 -19.522705 -52.011936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90766151--0.90777954) × R
    0.000118030000000102 × 6371000     		dl = 751.969130000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90766151--0.90777954) × R
    0.000118030000000102 × 6371000     		dr = 751.969130000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34092723--0.34073548) × cos(-0.90766151) × R
    0.000191750000000046 × 0.61559031626189 × 6371000     		do = 752.029292265619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34092723--0.34073548) × cos(-0.90777954) × R
    0.000191750000000046 × 0.615497296503606 × 6371000     		du = 751.915655677873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90766151)-sin(-0.90777954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61559031626189-0.615497296503606)×R²
    abs(-0.34073548--0.34092723)×9.30197582841297e-05×R²
    0.000191750000000046×9.30197582841297e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.30197582841297e-05×40589641000000     		ar = 565460.087693594m²