Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14605 / 22019
↖ ↑ ↗
← S 52.502848°
W 19.544678°		 ← 743.64 m → S 52.502848°
W 19.533691°		 →
↑
743.56 m
↓
↑
743.56 m
↓
S 52.509535°
W 19.544678°		 ← 743.53 m →
552 897 m²		 S 52.509535°
W 19.533691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445724487304688 y=0.671981811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445724487304688 × 215)
    floor (0.445724487304688 × 32768)
    floor (14605.5)     		tx = 14605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671981811523438 × 215)
    floor (0.671981811523438 × 32768)
    floor (22019.5)     		ty = 22019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14605 / 22019 ti = "15/14605/22019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14605/22019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14605 ÷ 215
    14605 ÷ 32768     		x = 0.445709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22019 ÷ 215
    22019 ÷ 32768     		y = 0.671966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445709228515625 × 2 - 1) × π
    -0.10858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34111898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.34393310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08049771743607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34111898} λ = -0.34111898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08049771743607))-π/2
    2×atan(0.339426545086389)-π/2
    2×0.327224384242049-π/2
    0.654448768484098-1.57079632675     		φ = -0.91634756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34111898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.544678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91634756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.502848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14605 KachelY 22019 -0.34111898 -0.91634756 -19.544678 -52.502848
    Oben rechts KachelX + 1 14606 KachelY 22019 -0.34092723 -0.91634756 -19.533691 -52.502848
    Unten links KachelX 14605 KachelY + 1 22020 -0.34111898 -0.91646427 -19.544678 -52.509535
    Unten rechts KachelX + 1 14606 KachelY + 1 22020 -0.34092723 -0.91646427 -19.533691 -52.509535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91634756--0.91646427) × R
    0.00011671000000002 × 6371000     		dl = 743.559410000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91634756--0.91646427) × R
    0.00011671000000002 × 6371000     		dr = 743.559410000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34111898--0.34092723) × cos(-0.91634756) × R
    0.000191749999999991 × 0.608721996451379 × 6371000     		do = 743.638683203329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34111898--0.34092723) × cos(-0.91646427) × R
    0.000191749999999991 × 0.608629396506284 × 6371000     		du = 743.525559475853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91634756)-sin(-0.91646427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608721996451379-0.608629396506284)×R²
    abs(-0.34092723--0.34111898)×9.25999450950288e-05×R²
    0.000191749999999991×9.25999450950288e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.25999450950288e-05×40589641000000     		ar = 552897.484057883m²