Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14604 / 22340
↖ ↑ ↗
← S 54.597528°
W 19.555664°		 ← 707.72 m → S 54.597528°
W 19.544678°		 →
↑
707.69 m
↓
↑
707.69 m
↓
S 54.603892°
W 19.555664°		 ← 707.60 m →
500 805 m²		 S 54.603892°
W 19.544678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445693969726562 y=0.681777954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445693969726562 × 215)
    floor (0.445693969726562 × 32768)
    floor (14604.5)     		tx = 14604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681777954101562 × 215)
    floor (0.681777954101562 × 32768)
    floor (22340.5)     		ty = 22340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14604 / 22340 ti = "15/14604/22340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14604/22340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14604 ÷ 215
    14604 ÷ 32768     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22340 ÷ 215
    22340 ÷ 32768     		y = 0.6817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6817626953125 × 2 - 1) × π
    -0.363525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14204869654822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14204869654822))-π/2
    2×atan(0.319164480397562)-π/2
    2×0.308944851172556-π/2
    0.617889702345112-1.57079632675     		φ = -0.95290662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95290662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.597528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14604 KachelY 22340 -0.34131073 -0.95290662 -19.555664 -54.597528
    Oben rechts KachelX + 1 14605 KachelY 22340 -0.34111898 -0.95290662 -19.544678 -54.597528
    Unten links KachelX 14604 KachelY + 1 22341 -0.34131073 -0.95301770 -19.555664 -54.603892
    Unten rechts KachelX + 1 14605 KachelY + 1 22341 -0.34111898 -0.95301770 -19.544678 -54.603892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95290662--0.95301770) × R
    0.00011107999999993 × 6371000     		dl = 707.690679999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95290662--0.95301770) × R
    0.00011107999999993 × 6371000     		dr = 707.690679999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34111898) × cos(-0.95290662) × R
    0.000191749999999991 × 0.579316345862885 × 6371000     		do = 707.715586272641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34111898) × cos(-0.95301770) × R
    0.000191749999999991 × 0.579225800670238 × 6371000     		du = 707.604972711404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95290662)-sin(-0.95301770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579316345862885-0.579225800670238)×R²
    abs(-0.34111898--0.34131073)×9.05451926475065e-05×R²
    0.000191749999999991×9.05451926475065e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.05451926475065e-05×40589641000000     		ar = 500804.584917762m²