Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14602 / 22379
↖ ↑ ↗
← S 54.844990°
W 19.577637°		 ← 703.41 m → S 54.844990°
W 19.566650°		 →
↑
703.36 m
↓
↑
703.36 m
↓
S 54.851315°
W 19.577637°		 ← 703.30 m →
494 709 m²		 S 54.851315°
W 19.566650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445632934570312 y=0.682968139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445632934570312 × 215)
    floor (0.445632934570312 × 32768)
    floor (14602.5)     		tx = 14602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682968139648438 × 215)
    floor (0.682968139648438 × 32768)
    floor (22379.5)     		ty = 22379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14602 / 22379 ti = "15/14602/22379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14602/22379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14602 ÷ 215
    14602 ÷ 32768     		x = 0.44561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22379 ÷ 215
    22379 ÷ 32768     		y = 0.682952880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.1087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34169422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682952880859375 × 2 - 1) × π
    -0.36590576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14952685288895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34169422} λ = -0.34169422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14952685288895))-π/2
    2×atan(0.316786620599779)-π/2
    2×0.306785337137-π/2
    0.613570674274-1.57079632675     		φ = -0.95722565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34169422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.577637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95722565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.844990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14602 KachelY 22379 -0.34169422 -0.95722565 -19.577637 -54.844990
    Oben rechts KachelX + 1 14603 KachelY 22379 -0.34150247 -0.95722565 -19.566650 -54.844990
    Unten links KachelX 14602 KachelY + 1 22380 -0.34169422 -0.95733605 -19.577637 -54.851315
    Unten rechts KachelX + 1 14603 KachelY + 1 22380 -0.34150247 -0.95733605 -19.566650 -54.851315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95722565--0.95733605) × R
    0.000110399999999955 × 6371000     		dl = 703.358399999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95722565--0.95733605) × R
    0.000110399999999955 × 6371000     		dr = 703.358399999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34169422--0.34150247) × cos(-0.95722565) × R
    0.000191749999999991 × 0.57579050008905 × 6371000     		do = 703.408274685878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34169422--0.34150247) × cos(-0.95733605) × R
    0.000191749999999991 × 0.575700233841436 × 6371000     		du = 703.298001894842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95722565)-sin(-0.95733605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57579050008905-0.575700233841436)×R²
    abs(-0.34150247--0.34169422)×9.02662476144345e-05×R²
    0.000191749999999991×9.02662476144345e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.02662476144345e-05×40589641000000     		ar = 494709.338485278m²