Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14601 / 23305
↖ ↑ ↗
← S 60.288854°
W 19.588623°		 ← 605.48 m → S 60.288854°
W 19.577637°		 →
↑
605.37 m
↓
↑
605.37 m
↓
S 60.294299°
W 19.588623°		 ← 605.38 m →
366 509 m²		 S 60.294299°
W 19.577637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445602416992188 y=0.711227416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445602416992188 × 215)
    floor (0.445602416992188 × 32768)
    floor (14601.5)     		tx = 14601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.711227416992188 × 215)
    floor (0.711227416992188 × 32768)
    floor (23305.5)     		ty = 23305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14601 / 23305 ti = "15/14601/23305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14601/23305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14601 ÷ 215
    14601 ÷ 32768     		x = 0.445587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23305 ÷ 215
    23305 ÷ 32768     		y = 0.711212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.10882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34188597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.711212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.42242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.32708512908163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34188597} λ = -0.34188597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.32708512908163))-π/2
    2×atan(0.265249303031716)-π/2
    2×0.25927866061001-π/2
    0.518557321220019-1.57079632675     		φ = -1.05223901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34188597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.588623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05223901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.288854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14601 KachelY 23305 -0.34188597 -1.05223901 -19.588623 -60.288854
    Oben rechts KachelX + 1 14602 KachelY 23305 -0.34169422 -1.05223901 -19.577637 -60.288854
    Unten links KachelX 14601 KachelY + 1 23306 -0.34188597 -1.05233403 -19.588623 -60.294299
    Unten rechts KachelX + 1 14602 KachelY + 1 23306 -0.34169422 -1.05233403 -19.577637 -60.294299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05223901--1.05233403) × R
    9.50199999998347e-05 × 6371000     		dl = 605.372419998947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05223901--1.05233403) × R
    9.50199999998347e-05 × 6371000     		dr = 605.372419998947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34188597--0.34169422) × cos(-1.05223901) × R
    0.000191749999999991 × 0.495627633035571 × 6371000     		do = 605.478169900821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34188597--0.34169422) × cos(-1.05233403) × R
    0.000191749999999991 × 0.495545102591422 × 6371000     		du = 605.377347470927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05223901)-sin(-1.05233403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495627633035571-0.495545102591422)×R²
    abs(-0.34169422--0.34188597)×8.25304441495756e-05×R²
    0.000191749999999991×8.25304441495756e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.25304441495756e-05×40589641000000     		ar = 366509.267685573m²