Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14601 / 22343
↖ ↑ ↗
← S 54.616617°
W 19.588623°		 ← 707.38 m → S 54.616617°
W 19.577637°		 →
↑
707.37 m
↓
↑
707.37 m
↓
S 54.622978°
W 19.588623°		 ← 707.27 m →
500 344 m²		 S 54.622978°
W 19.577637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445602416992188 y=0.681869506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445602416992188 × 215)
    floor (0.445602416992188 × 32768)
    floor (14601.5)     		tx = 14601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681869506835938 × 215)
    floor (0.681869506835938 × 32768)
    floor (22343.5)     		ty = 22343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14601 / 22343 ti = "15/14601/22343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14601/22343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14601 ÷ 215
    14601 ÷ 32768     		x = 0.445587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22343 ÷ 215
    22343 ÷ 32768     		y = 0.681854248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.10882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34188597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681854248046875 × 2 - 1) × π
    -0.36370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14262393934366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34188597} λ = -0.34188597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14262393934366))-π/2
    2×atan(0.318980936125974)-π/2
    2×0.308778266456903-π/2
    0.617556532913807-1.57079632675     		φ = -0.95323979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34188597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.588623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95323979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.616617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14601 KachelY 22343 -0.34188597 -0.95323979 -19.588623 -54.616617
    Oben rechts KachelX + 1 14602 KachelY 22343 -0.34169422 -0.95323979 -19.577637 -54.616617
    Unten links KachelX 14601 KachelY + 1 22344 -0.34188597 -0.95335082 -19.588623 -54.622978
    Unten rechts KachelX + 1 14602 KachelY + 1 22344 -0.34169422 -0.95335082 -19.577637 -54.622978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95323979--0.95335082) × R
    0.000111030000000012 × 6371000     		dl = 707.372130000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95323979--0.95335082) × R
    0.000111030000000012 × 6371000     		dr = 707.372130000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34188597--0.34169422) × cos(-0.95323979) × R
    0.000191749999999991 × 0.579044745915969 × 6371000     		do = 707.38378911719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34188597--0.34169422) × cos(-0.95335082) × R
    0.000191749999999991 × 0.578954220058383 × 6371000     		du = 707.273199176424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95323979)-sin(-0.95335082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579044745915969-0.578954220058383)×R²
    abs(-0.34169422--0.34188597)×9.05258575857326e-05×R²
    0.000191749999999991×9.05258575857326e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.05258575857326e-05×40589641000000     		ar = 500344.464028167m²