Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14600 / 21935
↖ ↑ ↗
← S 51.937492°
W 19.599610°		 ← 753.17 m → S 51.937492°
W 19.588623°		 →
↑
753.12 m
↓
↑
753.12 m
↓
S 51.944265°
W 19.599610°		 ← 753.05 m →
567 178 m²		 S 51.944265°
W 19.588623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445571899414062 y=0.669418334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445571899414062 × 215)
    floor (0.445571899414062 × 32768)
    floor (14600.5)     		tx = 14600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669418334960938 × 215)
    floor (0.669418334960938 × 32768)
    floor (21935.5)     		ty = 21935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14600 / 21935 ti = "15/14600/21935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14600/21935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14600 ÷ 215
    14600 ÷ 32768     		x = 0.445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21935 ÷ 215
    21935 ÷ 32768     		y = 0.669403076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.10888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34207772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.33880615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06439091916373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34207772} λ = -0.34207772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06439091916373))-π/2
    2×atan(0.34493788585375)-π/2
    2×0.332158042303356-π/2
    0.664316084606712-1.57079632675     		φ = -0.90648024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34207772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.599610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90648024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.937492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14600 KachelY 21935 -0.34207772 -0.90648024 -19.599610 -51.937492
    Oben rechts KachelX + 1 14601 KachelY 21935 -0.34188597 -0.90648024 -19.588623 -51.937492
    Unten links KachelX 14600 KachelY + 1 21936 -0.34207772 -0.90659845 -19.599610 -51.944265
    Unten rechts KachelX + 1 14601 KachelY + 1 21936 -0.34188597 -0.90659845 -19.588623 -51.944265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90648024--0.90659845) × R
    0.000118209999999896 × 6371000     		dl = 753.11590999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90648024--0.90659845) × R
    0.000118209999999896 × 6371000     		dr = 753.11590999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34207772--0.34188597) × cos(-0.90648024) × R
    0.000191749999999991 × 0.616520805678602 × 6371000     		do = 753.166014658566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34207772--0.34188597) × cos(-0.90659845) × R
    0.000191749999999991 × 0.616427730073519 × 6371000     		du = 753.052309846179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90648024)-sin(-0.90659845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616520805678602-0.616427730073519)×R²
    abs(-0.34188597--0.34207772)×9.30756050834258e-05×R²
    0.000191749999999991×9.30756050834258e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.30756050834258e-05×40589641000000     		ar = 567178.492719056m²