Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14595 / 22533
↖ ↑ ↗
← S 55.807456°
W 19.654541°		 ← 686.50 m → S 55.807456°
W 19.643555°		 →
↑
686.41 m
↓
↑
686.41 m
↓
S 55.813629°
W 19.654541°		 ← 686.39 m →
471 181 m²		 S 55.813629°
W 19.643555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445419311523438 y=0.687667846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445419311523438 × 215)
    floor (0.445419311523438 × 32768)
    floor (14595.5)     		tx = 14595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687667846679688 × 215)
    floor (0.687667846679688 × 32768)
    floor (22533.5)     		ty = 22533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14595 / 22533 ti = "15/14595/22533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14595/22533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14595 ÷ 215
    14595 ÷ 32768     		x = 0.445404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22533 ÷ 215
    22533 ÷ 32768     		y = 0.687652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.10919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34303645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.37530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1790559830549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34303645} λ = -0.34303645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1790559830549))-π/2
    2×atan(0.307568951898822)-π/2
    2×0.298386240495001-π/2
    0.596772480990002-1.57079632675     		φ = -0.97402385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34303645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.654541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97402385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.807456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14595 KachelY 22533 -0.34303645 -0.97402385 -19.654541 -55.807456
    Oben rechts KachelX + 1 14596 KachelY 22533 -0.34284471 -0.97402385 -19.643555 -55.807456
    Unten links KachelX 14595 KachelY + 1 22534 -0.34303645 -0.97413159 -19.654541 -55.813629
    Unten rechts KachelX + 1 14596 KachelY + 1 22534 -0.34284471 -0.97413159 -19.643555 -55.813629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97402385--0.97413159) × R
    0.000107740000000023 × 6371000     		dl = 686.411540000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97402385--0.97413159) × R
    0.000107740000000023 × 6371000     		dr = 686.411540000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34303645--0.34284471) × cos(-0.97402385) × R
    0.000191739999999996 × 0.561975747259412 × 6371000     		do = 686.495826925305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34303645--0.34284471) × cos(-0.97413159) × R
    0.000191739999999996 × 0.561886626457219 × 6371000     		du = 686.386959133241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97402385)-sin(-0.97413159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561975747259412-0.561886626457219)×R²
    abs(-0.34284471--0.34303645)×8.91208021934764e-05×R²
    0.000191739999999996×8.91208021934764e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.91208021934764e-05×40589641000000     		ar = 471181.294165242m²