Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14594 / 22522
↖ ↑ ↗
← S 55.739482°
W 19.665527°		 ← 687.73 m → S 55.739482°
W 19.654541°		 →
↑
687.69 m
↓
↑
687.69 m
↓
S 55.745666°
W 19.665527°		 ← 687.62 m →
472 905 m²		 S 55.745666°
W 19.654541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445388793945312 y=0.687332153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445388793945312 × 215)
    floor (0.445388793945312 × 32768)
    floor (14594.5)     		tx = 14594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687332153320312 × 215)
    floor (0.687332153320312 × 32768)
    floor (22522.5)     		ty = 22522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14594 / 22522 ti = "15/14594/22522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14594/22522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14594 ÷ 215
    14594 ÷ 32768     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22522 ÷ 215
    22522 ÷ 32768     		y = 0.68731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.3746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17694675947162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17694675947162))-π/2
    2×atan(0.308218368227009)-π/2
    2×0.298979423908255-π/2
    0.597958847816511-1.57079632675     		φ = -0.97283748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97283748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.739482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14594 KachelY 22522 -0.34322820 -0.97283748 -19.665527 -55.739482
    Oben rechts KachelX + 1 14595 KachelY 22522 -0.34303645 -0.97283748 -19.654541 -55.739482
    Unten links KachelX 14594 KachelY + 1 22523 -0.34322820 -0.97294542 -19.665527 -55.745666
    Unten rechts KachelX + 1 14595 KachelY + 1 22523 -0.34303645 -0.97294542 -19.654541 -55.745666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97283748--0.97294542) × R
    0.000107939999999918 × 6371000     		dl = 687.685739999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97283748--0.97294542) × R
    0.000107939999999918 × 6371000     		dr = 687.685739999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34303645) × cos(-0.97283748) × R
    0.000191749999999991 × 0.562956661892793 × 6371000     		do = 687.729954217181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34303645) × cos(-0.97294542) × R
    0.000191749999999991 × 0.562867447669641 × 6371000     		du = 687.620966620521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97283748)-sin(-0.97294542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562956661892793-0.562867447669641)×R²
    abs(-0.34303645--0.34322820)×8.92142231512238e-05×R²
    0.000191749999999991×8.92142231512238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.92142231512238e-05×40589641000000     		ar = 472904.60833675m²