Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14592 / 22240
↖ ↑ ↗
← S 53.956085°
W 19.687500°		 ← 718.82 m → S 53.956085°
W 19.676514°		 →
↑
718.78 m
↓
↑
718.78 m
↓
S 53.962549°
W 19.687500°		 ← 718.71 m →
516 630 m²		 S 53.962549°
W 19.676514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445327758789062 y=0.678726196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445327758789062 × 215)
    floor (0.445327758789062 × 32768)
    floor (14592.5)     		tx = 14592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678726196289062 × 215)
    floor (0.678726196289062 × 32768)
    floor (22240.5)     		ty = 22240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14592 / 22240 ti = "15/14592/22240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14592/22240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14592 ÷ 215
    14592 ÷ 32768     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22240 ÷ 215
    22240 ÷ 32768     		y = 0.6787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6787109375 × 2 - 1) × π
    -0.357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1228739367002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1228739367002))-π/2
    2×atan(0.325343433312798)-π/2
    2×0.314542491405185-π/2
    0.629084982810369-1.57079632675     		φ = -0.94171134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94171134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.956085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14592 KachelY 22240 -0.34361170 -0.94171134 -19.687500 -53.956085
    Oben rechts KachelX + 1 14593 KachelY 22240 -0.34341995 -0.94171134 -19.676514 -53.956085
    Unten links KachelX 14592 KachelY + 1 22241 -0.34361170 -0.94182416 -19.687500 -53.962549
    Unten rechts KachelX + 1 14593 KachelY + 1 22241 -0.34341995 -0.94182416 -19.676514 -53.962549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94171134--0.94182416) × R
    0.000112820000000013 × 6371000     		dl = 718.776220000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94171134--0.94182416) × R
    0.000112820000000013 × 6371000     		dr = 718.776220000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34341995) × cos(-0.94171134) × R
    0.000191750000000046 × 0.588405155574787 × 6371000     		do = 718.818832952688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34341995) × cos(-0.94182416) × R
    0.000191750000000046 × 0.588313929386482 × 6371000     		du = 718.707387460427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94171134)-sin(-0.94182416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588405155574787-0.588313929386482)×R²
    abs(-0.34341995--0.34361170)×9.12261883051491e-05×R²
    0.000191750000000046×9.12261883051491e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.12261883051491e-05×40589641000000     		ar = 516629.831978032m²