Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14591 / 22527
↖ ↑ ↗
← S 55.770393°
W 19.698486°		 ← 687.15 m → S 55.770393°
W 19.687500°		 →
↑
687.11 m
↓
↑
687.11 m
↓
S 55.776573°
W 19.698486°		 ← 687.04 m →
472 111 m²		 S 55.776573°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445297241210938 y=0.687484741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445297241210938 × 215)
    floor (0.445297241210938 × 32768)
    floor (14591.5)     		tx = 14591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687484741210938 × 215)
    floor (0.687484741210938 × 32768)
    floor (22527.5)     		ty = 22527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14591 / 22527 ti = "15/14591/22527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14591/22527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14591 ÷ 215
    14591 ÷ 32768     		x = 0.445281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22527 ÷ 215
    22527 ÷ 32768     		y = 0.687469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.10943603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34380344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.37493896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17790549746402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34380344} λ = -0.34380344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17790549746402))-π/2
    2×atan(0.307923009176029)-π/2
    2×0.298709666840726-π/2
    0.597419333681452-1.57079632675     		φ = -0.97337699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34380344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.698486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97337699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.770393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14591 KachelY 22527 -0.34380344 -0.97337699 -19.698486 -55.770393
    Oben rechts KachelX + 1 14592 KachelY 22527 -0.34361170 -0.97337699 -19.687500 -55.770393
    Unten links KachelX 14591 KachelY + 1 22528 -0.34380344 -0.97348484 -19.698486 -55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 14592 KachelY + 1 22528 -0.34361170 -0.97348484 -19.687500 -55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97337699--0.97348484) × R
    0.00010785000000002 × 6371000     		dl = 687.11235000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97337699--0.97348484) × R
    0.00010785000000002 × 6371000     		dr = 687.11235000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34380344--0.34361170) × cos(-0.97337699) × R
    0.000191739999999996 × 0.562510682297614 × 6371000     		do = 687.149290483461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34380344--0.34361170) × cos(-0.97348484) × R
    0.000191739999999996 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 687.040359447463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97337699)-sin(-0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562510682297614-0.562421509722991)×R²
    abs(-0.34361170--0.34380344)×8.9172574622487e-05×R²
    0.000191739999999996×8.9172574622487e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.9172574622487e-05×40589641000000     		ar = 472111.340312461m²