Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14589 / 22249
↖ ↑ ↗
← S 54.014224°
W 19.720459°		 ← 717.82 m → S 54.014224°
W 19.709473°		 →
↑
717.76 m
↓
↑
717.76 m
↓
S 54.020679°
W 19.720459°		 ← 717.70 m →
515 177 m²		 S 54.020679°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445236206054688 y=0.679000854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445236206054688 × 215)
    floor (0.445236206054688 × 32768)
    floor (14589.5)     		tx = 14589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679000854492188 × 215)
    floor (0.679000854492188 × 32768)
    floor (22249.5)     		ty = 22249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14589 / 22249 ti = "15/14589/22249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14589/22249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14589 ÷ 215
    14589 ÷ 32768     		x = 0.445220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22249 ÷ 215
    22249 ÷ 32768     		y = 0.678985595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.10955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34418694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678985595703125 × 2 - 1) × π
    -0.35797119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12459966508652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34418694} λ = -0.34418694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12459966508652))-π/2
    2×atan(0.324782463094961)-π/2
    2×0.31403513181372-π/2
    0.62807026362744-1.57079632675     		φ = -0.94272606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34418694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.720459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94272606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.014224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14589 KachelY 22249 -0.34418694 -0.94272606 -19.720459 -54.014224
    Oben rechts KachelX + 1 14590 KachelY 22249 -0.34399519 -0.94272606 -19.709473 -54.014224
    Unten links KachelX 14589 KachelY + 1 22250 -0.34418694 -0.94283872 -19.720459 -54.020679
    Unten rechts KachelX + 1 14590 KachelY + 1 22250 -0.34399519 -0.94283872 -19.709473 -54.020679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94272606--0.94283872) × R
    0.000112659999999987 × 6371000     		dl = 717.756859999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94272606--0.94283872) × R
    0.000112659999999987 × 6371000     		dr = 717.756859999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34418694--0.34399519) × cos(-0.94272606) × R
    0.000191749999999991 × 0.587584384447624 × 6371000     		do = 717.816146728272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34418694--0.34399519) × cos(-0.94283872) × R
    0.000191749999999991 × 0.587493220427139 × 6371000     		du = 717.70477718266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94272606)-sin(-0.94283872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587584384447624-0.587493220427139)×R²
    abs(-0.34399519--0.34418694)×9.1164020484813e-05×R²
    0.000191749999999991×9.1164020484813e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.1164020484813e-05×40589641000000     		ar = 515177.495949892m²