Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14589 / 21887
↖ ↑ ↗
← S 51.611195°
W 19.720459°		 ← 758.63 m → S 51.611195°
W 19.709473°		 →
↑
758.53 m
↓
↑
758.53 m
↓
S 51.618016°
W 19.720459°		 ← 758.52 m →
575 402 m²		 S 51.618016°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445236206054688 y=0.667953491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445236206054688 × 215)
    floor (0.445236206054688 × 32768)
    floor (14589.5)     		tx = 14589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667953491210938 × 215)
    floor (0.667953491210938 × 32768)
    floor (21887.5)     		ty = 21887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14589 / 21887 ti = "15/14589/21887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14589/21887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14589 ÷ 215
    14589 ÷ 32768     		x = 0.445220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21887 ÷ 215
    21887 ÷ 32768     		y = 0.667938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.10955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34418694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.33587646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05518703443668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34418694} λ = -0.34418694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05518703443668))-π/2
    2×atan(0.348127309421535)-π/2
    2×0.335005524986563-π/2
    0.670011049973127-1.57079632675     		φ = -0.90078528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34418694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.720459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90078528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.611195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14589 KachelY 21887 -0.34418694 -0.90078528 -19.720459 -51.611195
    Oben rechts KachelX + 1 14590 KachelY 21887 -0.34399519 -0.90078528 -19.709473 -51.611195
    Unten links KachelX 14589 KachelY + 1 21888 -0.34418694 -0.90090434 -19.720459 -51.618016
    Unten rechts KachelX + 1 14590 KachelY + 1 21888 -0.34399519 -0.90090434 -19.709473 -51.618016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90078528--0.90090434) × R
    0.000119059999999949 × 6371000     		dl = 758.531259999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90078528--0.90090434) × R
    0.000119059999999949 × 6371000     		dr = 758.531259999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34418694--0.34399519) × cos(-0.90078528) × R
    0.000191749999999991 × 0.620994645715848 × 6371000     		do = 758.631433246287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34418694--0.34399519) × cos(-0.90090434) × R
    0.000191749999999991 × 0.620901320323887 × 6371000     		du = 758.517423284446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90078528)-sin(-0.90090434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620994645715848-0.620901320323887)×R²
    abs(-0.34399519--0.34418694)×9.33253919609411e-05×R²
    0.000191749999999991×9.33253919609411e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.33253919609411e-05×40589641000000     		ar = 575402.417555569m²