Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14587 / 22415
↖ ↑ ↗
← S 55.072078°
W 19.742431°		 ← 699.41 m → S 55.072078°
W 19.731445°		 →
↑
699.34 m
↓
↑
699.34 m
↓
S 55.078367°
W 19.742431°		 ← 699.30 m →
489 089 m²		 S 55.078367°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445175170898438 y=0.684066772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445175170898438 × 215)
    floor (0.445175170898438 × 32768)
    floor (14587.5)     		tx = 14587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684066772460938 × 215)
    floor (0.684066772460938 × 32768)
    floor (22415.5)     		ty = 22415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14587 / 22415 ti = "15/14587/22415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14587/22415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14587 ÷ 215
    14587 ÷ 32768     		x = 0.445159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22415 ÷ 215
    22415 ÷ 32768     		y = 0.684051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445159912109375 × 2 - 1) × π
    -0.10968017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34457043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.36810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15642976643423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34457043} λ = -0.34457043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15642976643423))-π/2
    2×atan(0.314607400084236)-π/2
    2×0.304803623793712-π/2
    0.609607247587424-1.57079632675     		φ = -0.96118908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34457043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.742431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96118908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.072078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14587 KachelY 22415 -0.34457043 -0.96118908 -19.742431 -55.072078
    Oben rechts KachelX + 1 14588 KachelY 22415 -0.34437869 -0.96118908 -19.731445 -55.072078
    Unten links KachelX 14587 KachelY + 1 22416 -0.34457043 -0.96129885 -19.742431 -55.078367
    Unten rechts KachelX + 1 14588 KachelY + 1 22416 -0.34437869 -0.96129885 -19.731445 -55.078367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96118908--0.96129885) × R
    0.000109770000000009 × 6371000     		dl = 699.344670000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96118908--0.96129885) × R
    0.000109770000000009 × 6371000     		dr = 699.344670000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34457043--0.34437869) × cos(-0.96118908) × R
    0.000191739999999996 × 0.572545496538835 × 6371000     		do = 699.40757410898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34457043--0.34437869) × cos(-0.96129885) × R
    0.000191739999999996 × 0.572455495635847 × 6371000     		du = 699.297631207312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96118908)-sin(-0.96129885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572545496538835-0.572455495635847)×R²
    abs(-0.34437869--0.34457043)×9.00009029876081e-05×R²
    0.000191739999999996×9.00009029876081e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.00009029876081e-05×40589641000000     		ar = 489088.515610337m²