Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14586 / 22410
↖ ↑ ↗
← S 55.040614°
W 19.753418°		 ← 699.99 m → S 55.040614°
W 19.742431°		 →
↑
699.92 m
↓
↑
699.92 m
↓
S 55.046909°
W 19.753418°		 ← 699.88 m →
489 900 m²		 S 55.046909°
W 19.742431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445144653320312 y=0.683914184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445144653320312 × 215)
    floor (0.445144653320312 × 32768)
    floor (14586.5)     		tx = 14586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683914184570312 × 215)
    floor (0.683914184570312 × 32768)
    floor (22410.5)     		ty = 22410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14586 / 22410 ti = "15/14586/22410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14586/22410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14586 ÷ 215
    14586 ÷ 32768     		x = 0.44512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22410 ÷ 215
    22410 ÷ 32768     		y = 0.68389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.1097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34476218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.3677978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15547102844183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34476218} λ = -0.34476218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15547102844183))-π/2
    2×atan(0.314909170787791)-π/2
    2×0.305078192237399-π/2
    0.610156384474798-1.57079632675     		φ = -0.96063994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34476218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.753418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96063994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.040614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14586 KachelY 22410 -0.34476218 -0.96063994 -19.753418 -55.040614
    Oben rechts KachelX + 1 14587 KachelY 22410 -0.34457043 -0.96063994 -19.742431 -55.040614
    Unten links KachelX 14586 KachelY + 1 22411 -0.34476218 -0.96074980 -19.753418 -55.046909
    Unten rechts KachelX + 1 14587 KachelY + 1 22411 -0.34457043 -0.96074980 -19.742431 -55.046909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96063994--0.96074980) × R
    0.000109860000000017 × 6371000     		dl = 699.918060000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96063994--0.96074980) × R
    0.000109860000000017 × 6371000     		dr = 699.918060000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34476218--0.34457043) × cos(-0.96063994) × R
    0.000191749999999991 × 0.572995635221152 × 6371000     		do = 699.993958064807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34476218--0.34457043) × cos(-0.96074980) × R
    0.000191749999999991 × 0.572905595075626 × 6371000     		du = 699.883961488957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96063994)-sin(-0.96074980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572995635221152-0.572905595075626)×R²
    abs(-0.34457043--0.34476218)×9.00401455262712e-05×R²
    0.000191749999999991×9.00401455262712e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.00401455262712e-05×40589641000000     		ar = 489899.919338031m²