Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14577 / 22213
↖ ↑ ↗
← S 53.781181°
W 19.852295°		 ← 721.83 m → S 53.781181°
W 19.841308°		 →
↑
721.77 m
↓
↑
721.77 m
↓
S 53.787672°
W 19.852295°		 ← 721.72 m →
520 956 m²		 S 53.787672°
W 19.841308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444869995117188 y=0.677902221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444869995117188 × 215)
    floor (0.444869995117188 × 32768)
    floor (14577.5)     		tx = 14577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677902221679688 × 215)
    floor (0.677902221679688 × 32768)
    floor (22213.5)     		ty = 22213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14577 / 22213 ti = "15/14577/22213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14577/22213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14577 ÷ 215
    14577 ÷ 32768     		x = 0.444854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22213 ÷ 215
    22213 ÷ 32768     		y = 0.677886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.11029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34648791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.35577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11769675154123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34648791} λ = -0.34648791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11769675154123))-π/2
    2×atan(0.327032164171527)-π/2
    2×0.316068822709846-π/2
    0.632137645419691-1.57079632675     		φ = -0.93865868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34648791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93865868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.781181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14577 KachelY 22213 -0.34648791 -0.93865868 -19.852295 -53.781181
    Oben rechts KachelX + 1 14578 KachelY 22213 -0.34629616 -0.93865868 -19.841308 -53.781181
    Unten links KachelX 14577 KachelY + 1 22214 -0.34648791 -0.93877197 -19.852295 -53.787672
    Unten rechts KachelX + 1 14578 KachelY + 1 22214 -0.34629616 -0.93877197 -19.841308 -53.787672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93865868--0.93877197) × R
    0.000113290000000044 × 6371000     		dl = 721.770590000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93865868--0.93877197) × R
    0.000113290000000044 × 6371000     		dr = 721.770590000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34648791--0.34629616) × cos(-0.93865868) × R
    0.000191749999999991 × 0.590870687982191 × 6371000     		do = 721.830824113512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34648791--0.34629616) × cos(-0.93877197) × R
    0.000191749999999991 × 0.590779285638756 × 6371000     		du = 721.71916342323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93865868)-sin(-0.93877197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590870687982191-0.590779285638756)×R²
    abs(-0.34629616--0.34648791)×9.14023434348543e-05×R²
    0.000191749999999991×9.14023434348543e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.14023434348543e-05×40589641000000     		ar = 520955.963656713m²