Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14573 / 22218
↖ ↑ ↗
← S 53.813626°
W 19.896240°		 ← 721.27 m → S 53.813626°
W 19.885254°		 →
↑
721.20 m
↓
↑
721.20 m
↓
S 53.820112°
W 19.896240°		 ← 721.16 m →
520 140 m²		 S 53.820112°
W 19.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444747924804688 y=0.678054809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444747924804688 × 215)
    floor (0.444747924804688 × 32768)
    floor (14573.5)     		tx = 14573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678054809570312 × 215)
    floor (0.678054809570312 × 32768)
    floor (22218.5)     		ty = 22218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14573 / 22218 ti = "15/14573/22218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14573/22218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14573 ÷ 215
    14573 ÷ 32768     		x = 0.444732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22218 ÷ 215
    22218 ÷ 32768     		y = 0.67803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.11053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34725490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.3560791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11865548953363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34725490} λ = -0.34725490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11865548953363))-π/2
    2×atan(0.326718776263451)-π/2
    2×0.315785687150542-π/2
    0.631571374301083-1.57079632675     		φ = -0.93922495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34725490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.896240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93922495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.813626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14573 KachelY 22218 -0.34725490 -0.93922495 -19.896240 -53.813626
    Oben rechts KachelX + 1 14574 KachelY 22218 -0.34706315 -0.93922495 -19.885254 -53.813626
    Unten links KachelX 14573 KachelY + 1 22219 -0.34725490 -0.93933815 -19.896240 -53.820112
    Unten rechts KachelX + 1 14574 KachelY + 1 22219 -0.34706315 -0.93933815 -19.885254 -53.820112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93922495--0.93933815) × R
    0.000113200000000035 × 6371000     		dl = 721.197200000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93922495--0.93933815) × R
    0.000113200000000035 × 6371000     		dr = 721.197200000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34725490--0.34706315) × cos(-0.93922495) × R
    0.000191749999999991 × 0.590413745730592 × 6371000     		do = 721.272605523975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34725490--0.34706315) × cos(-0.93933815) × R
    0.000191749999999991 × 0.590322378143863 × 6371000     		du = 721.160987293849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93922495)-sin(-0.93933815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590413745730592-0.590322378143863)×R²
    abs(-0.34706315--0.34725490)×9.13675867292296e-05×R²
    0.000191749999999991×9.13675867292296e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.13675867292296e-05×40589641000000     		ar = 520139.534718311m²