Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14572 / 22216
↖ ↑ ↗
← S 53.800651°
W 19.907227°		 ← 721.50 m → S 53.800651°
W 19.896240°		 →
↑
721.39 m
↓
↑
721.39 m
↓
S 53.807139°
W 19.907227°		 ← 721.38 m →
520 438 m²		 S 53.807139°
W 19.896240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444717407226562 y=0.677993774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444717407226562 × 215)
    floor (0.444717407226562 × 32768)
    floor (14572.5)     		tx = 14572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677993774414062 × 215)
    floor (0.677993774414062 × 32768)
    floor (22216.5)     		ty = 22216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14572 / 22216 ti = "15/14572/22216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14572/22216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14572 ÷ 215
    14572 ÷ 32768     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22216 ÷ 215
    22216 ÷ 32768     		y = 0.677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.35595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11827199433667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11827199433667))-π/2
    2×atan(0.326844095373007)-π/2
    2×0.315898915089252-π/2
    0.631797830178503-1.57079632675     		φ = -0.93899850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93899850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.800651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14572 KachelY 22216 -0.34744665 -0.93899850 -19.907227 -53.800651
    Oben rechts KachelX + 1 14573 KachelY 22216 -0.34725490 -0.93899850 -19.896240 -53.800651
    Unten links KachelX 14572 KachelY + 1 22217 -0.34744665 -0.93911173 -19.907227 -53.807139
    Unten rechts KachelX + 1 14573 KachelY + 1 22217 -0.34725490 -0.93911173 -19.896240 -53.807139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93899850--0.93911173) × R
    0.000113230000000075 × 6371000     		dl = 721.388330000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93899850--0.93911173) × R
    0.000113230000000075 × 6371000     		dr = 721.388330000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34725490) × cos(-0.93899850) × R
    0.000191750000000046 × 0.590596498554121 × 6371000     		do = 721.495863546456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34725490) × cos(-0.93911173) × R
    0.000191750000000046 × 0.590505121892295 × 6371000     		du = 721.384234229836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93899850)-sin(-0.93911173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590596498554121-0.590505121892295)×R²
    abs(-0.34725490--0.34744665)×9.13766618256817e-05×R²
    0.000191750000000046×9.13766618256817e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.13766618256817e-05×40589641000000     		ar = 520438.432619469m²