Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14568 / 22400
↖ ↑ ↗
← S 54.977613°
W 19.951172°		 ← 701.09 m → S 54.977613°
W 19.940185°		 →
↑
701.06 m
↓
↑
701.06 m
↓
S 54.983918°
W 19.951172°		 ← 700.98 m →
491 474 m²		 S 54.983918°
W 19.940185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444595336914062 y=0.683609008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444595336914062 × 215)
    floor (0.444595336914062 × 32768)
    floor (14568.5)     		tx = 14568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683609008789062 × 215)
    floor (0.683609008789062 × 32768)
    floor (22400.5)     		ty = 22400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14568 / 22400 ti = "15/14568/22400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14568/22400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14568 ÷ 215
    14568 ÷ 32768     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22400 ÷ 215
    22400 ÷ 32768     		y = 0.68359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68359375 × 2 - 1) × π
    -0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15355355245703))-π/2
    2×atan(0.315513580845869)-π/2
    2×0.305627976685362-π/2
    0.611255953370723-1.57079632675     		φ = -0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14568 KachelY 22400 -0.34821364 -0.95954037 -19.951172 -54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 14569 KachelY 22400 -0.34802189 -0.95954037 -19.940185 -54.977613
    Unten links KachelX 14568 KachelY + 1 22401 -0.34821364 -0.95965041 -19.951172 -54.983918
    Unten rechts KachelX + 1 14569 KachelY + 1 22401 -0.34802189 -0.95965041 -19.940185 -54.983918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95954037--0.95965041) × R
    0.000110039999999922 × 6371000     		dl = 701.064839999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95954037--0.95965041) × R
    0.000110039999999922 × 6371000     		dr = 701.064839999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34802189) × cos(-0.95954037) × R
    0.000191749999999991 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 701.094429365101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34802189) × cos(-0.95965041) × R
    0.000191749999999991 × 0.573806332201139 × 6371000     		du = 700.984337315415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95954037)-sin(-0.95965041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.573806332201139)×R²
    abs(-0.34802189--0.34821364)×9.01182977589565e-05×R²
    0.000191749999999991×9.01182977589565e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.01182977589565e-05×40589641000000     		ar = 491474.063610283m²