Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14566 / 22509
↖ ↑ ↗
← S 55.658996°
W 19.973144°		 ← 689.11 m → S 55.658996°
W 19.962158°		 →
↑
689.09 m
↓
↑
689.09 m
↓
S 55.665193°
W 19.973144°		 ← 689 m →
474 821 m²		 S 55.665193°
W 19.962158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444534301757812 y=0.686935424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444534301757812 × 215)
    floor (0.444534301757812 × 32768)
    floor (14566.5)     		tx = 14566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686935424804688 × 215)
    floor (0.686935424804688 × 32768)
    floor (22509.5)     		ty = 22509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14566 / 22509 ti = "15/14566/22509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14566/22509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14566 ÷ 215
    14566 ÷ 32768     		x = 0.44451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22509 ÷ 215
    22509 ÷ 32768     		y = 0.686920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34859713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.37384033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17445404069138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34859713} λ = -0.34859713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17445404069138))-π/2
    2×atan(0.308987628318116)-π/2
    2×0.299681793262063-π/2
    0.599363586524127-1.57079632675     		φ = -0.97143274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34859713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.973144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97143274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.658996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14566 KachelY 22509 -0.34859713 -0.97143274 -19.973144 -55.658996
    Oben rechts KachelX + 1 14567 KachelY 22509 -0.34840539 -0.97143274 -19.962158 -55.658996
    Unten links KachelX 14566 KachelY + 1 22510 -0.34859713 -0.97154090 -19.973144 -55.665193
    Unten rechts KachelX + 1 14567 KachelY + 1 22510 -0.34840539 -0.97154090 -19.962158 -55.665193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97143274--0.97154090) × R
    0.000108160000000024 × 6371000     		dl = 689.087360000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97143274--0.97154090) × R
    0.000108160000000024 × 6371000     		dr = 689.087360000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34859713--0.34840539) × cos(-0.97143274) × R
    0.000191739999999996 × 0.564117104600279 × 6371000     		do = 689.111656675307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34859713--0.34840539) × cos(-0.97154090) × R
    0.000191739999999996 × 0.564027794151883 × 6371000     		du = 689.002557216081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97143274)-sin(-0.97154090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564117104600279-0.564027794151883)×R²
    abs(-0.34840539--0.34859713)×8.9310448395663e-05×R²
    0.000191739999999996×8.9310448395663e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.9310448395663e-05×40589641000000     		ar = 474820.54317806m²