Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14566 / 21922
↖ ↑ ↗
← S 51.849353°
W 19.973144°		 ← 754.61 m → S 51.849353°
W 19.962158°		 →
↑
754.58 m
↓
↑
754.58 m
↓
S 51.856139°
W 19.973144°		 ← 754.49 m →
569 368 m²		 S 51.856139°
W 19.962158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444534301757812 y=0.669021606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444534301757812 × 215)
    floor (0.444534301757812 × 32768)
    floor (14566.5)     		tx = 14566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669021606445312 × 215)
    floor (0.669021606445312 × 32768)
    floor (21922.5)     		ty = 21922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14566 / 21922 ti = "15/14566/21922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14566/21922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14566 ÷ 215
    14566 ÷ 32768     		x = 0.44451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21922 ÷ 215
    21922 ÷ 32768     		y = 0.66900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34859713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.3380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06189820038348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34859713} λ = -0.34859713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06189820038348))-π/2
    2×atan(0.345798791551956)-π/2
    2×0.332927203029477-π/2
    0.665854406058954-1.57079632675     		φ = -0.90494192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34859713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.973144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90494192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.849353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14566 KachelY 21922 -0.34859713 -0.90494192 -19.973144 -51.849353
    Oben rechts KachelX + 1 14567 KachelY 21922 -0.34840539 -0.90494192 -19.962158 -51.849353
    Unten links KachelX 14566 KachelY + 1 21923 -0.34859713 -0.90506036 -19.973144 -51.856139
    Unten rechts KachelX + 1 14567 KachelY + 1 21923 -0.34840539 -0.90506036 -19.962158 -51.856139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90494192--0.90506036) × R
    0.000118440000000053 × 6371000     		dl = 754.581240000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90494192--0.90506036) × R
    0.000118440000000053 × 6371000     		dr = 754.581240000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34859713--0.34840539) × cos(-0.90494192) × R
    0.000191739999999996 × 0.61773125446456 × 6371000     		do = 754.605390747406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34859713--0.34840539) × cos(-0.90506036) × R
    0.000191739999999996 × 0.617638110185861 × 6371000     		du = 754.491607974857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90494192)-sin(-0.90506036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61773125446456-0.617638110185861)×R²
    abs(-0.34840539--0.34859713)×9.31442786989978e-05×R²
    0.000191739999999996×9.31442786989978e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.31442786989978e-05×40589641000000     		ar = 569368.142953835m²