Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14566 / 21877
↖ ↑ ↗
← S 51.542919°
W 19.973144°		 ← 759.73 m → S 51.542919°
W 19.962158°		 →
↑
759.68 m
↓
↑
759.68 m
↓
S 51.549751°
W 19.973144°		 ← 759.62 m →
577 109 m²		 S 51.549751°
W 19.962158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444534301757812 y=0.667648315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444534301757812 × 215)
    floor (0.444534301757812 × 32768)
    floor (14566.5)     		tx = 14566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667648315429688 × 215)
    floor (0.667648315429688 × 32768)
    floor (21877.5)     		ty = 21877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14566 / 21877 ti = "15/14566/21877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14566/21877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14566 ÷ 215
    14566 ÷ 32768     		x = 0.44451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21877 ÷ 215
    21877 ÷ 32768     		y = 0.667633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34859713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.33526611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05326955845187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34859713} λ = -0.34859713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05326955845187))-π/2
    2×atan(0.348795475568553)-π/2
    2×0.335601343637518-π/2
    0.671202687275037-1.57079632675     		φ = -0.89959364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34859713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.973144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89959364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.542919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14566 KachelY 21877 -0.34859713 -0.89959364 -19.973144 -51.542919
    Oben rechts KachelX + 1 14567 KachelY 21877 -0.34840539 -0.89959364 -19.962158 -51.542919
    Unten links KachelX 14566 KachelY + 1 21878 -0.34859713 -0.89971288 -19.973144 -51.549751
    Unten rechts KachelX + 1 14567 KachelY + 1 21878 -0.34840539 -0.89971288 -19.962158 -51.549751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89959364--0.89971288) × R
    0.000119240000000076 × 6371000     		dl = 759.678040000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89959364--0.89971288) × R
    0.000119240000000076 × 6371000     		dr = 759.678040000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34859713--0.34840539) × cos(-0.89959364) × R
    0.000191739999999996 × 0.621928229662156 × 6371000     		do = 759.732312990776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34859713--0.34840539) × cos(-0.89971288) × R
    0.000191739999999996 × 0.621834851467758 × 6371000     		du = 759.61824447253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89959364)-sin(-0.89971288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621928229662156-0.621834851467758)×R²
    abs(-0.34840539--0.34859713)×9.33781943976975e-05×R²
    0.000191739999999996×9.33781943976975e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.33781943976975e-05×40589641000000     		ar = 577108.627467952m²