Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14565 / 22493
↖ ↑ ↗
← S 55.559709°
W 19.984131°		 ← 690.89 m → S 55.559709°
W 19.973144°		 →
↑
690.81 m
↓
↑
690.81 m
↓
S 55.565922°
W 19.984131°		 ← 690.79 m →
477 237 m²		 S 55.565922°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444503784179688 y=0.686447143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444503784179688 × 215)
    floor (0.444503784179688 × 32768)
    floor (14565.5)     		tx = 14565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686447143554688 × 215)
    floor (0.686447143554688 × 32768)
    floor (22493.5)     		ty = 22493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14565 / 22493 ti = "15/14565/22493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14565/22493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14565 ÷ 215
    14565 ÷ 32768     		x = 0.444488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22493 ÷ 215
    22493 ÷ 32768     		y = 0.686431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.37286376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17138607911569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34878888} λ = -0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17138607911569))-π/2
    2×atan(0.309937046133155)-π/2
    2×0.300548234600676-π/2
    0.601096469201352-1.57079632675     		φ = -0.96969986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96969986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.559709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14565 KachelY 22493 -0.34878888 -0.96969986 -19.984131 -55.559709
    Oben rechts KachelX + 1 14566 KachelY 22493 -0.34859713 -0.96969986 -19.973144 -55.559709
    Unten links KachelX 14565 KachelY + 1 22494 -0.34878888 -0.96980829 -19.984131 -55.565922
    Unten rechts KachelX + 1 14566 KachelY + 1 22494 -0.34859713 -0.96980829 -19.973144 -55.565922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96969986--0.96980829) × R
    0.000108430000000048 × 6371000     		dl = 690.807530000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96969986--0.96980829) × R
    0.000108430000000048 × 6371000     		dr = 690.807530000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34878888--0.34859713) × cos(-0.96969986) × R
    0.000191750000000046 × 0.565547086892412 × 6371000     		do = 690.894519071097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34878888--0.34859713) × cos(-0.96980829) × R
    0.000191750000000046 × 0.565457659611341 × 6371000     		du = 690.78527119452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96969986)-sin(-0.96980829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565547086892412-0.565457659611341)×R²
    abs(-0.34859713--0.34878888)×8.94272810708641e-05×R²
    0.000191750000000046×8.94272810708641e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.94272810708641e-05×40589641000000     		ar = 477237.402049857m²