Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14565 / 21921
↖ ↑ ↗
← S 51.842565°
W 19.984131°		 ← 754.76 m → S 51.842565°
W 19.973144°		 →
↑
754.71 m
↓
↑
754.71 m
↓
S 51.849353°
W 19.984131°		 ← 754.64 m →
569 580 m²		 S 51.849353°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444503784179688 y=0.668991088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444503784179688 × 215)
    floor (0.444503784179688 × 32768)
    floor (14565.5)     		tx = 14565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668991088867188 × 215)
    floor (0.668991088867188 × 32768)
    floor (21921.5)     		ty = 21921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14565 / 21921 ti = "15/14565/21921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14565/21921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14565 ÷ 215
    14565 ÷ 32768     		x = 0.444488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21921 ÷ 215
    21921 ÷ 32768     		y = 0.668975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.33795166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.061706452785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34878888} λ = -0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.061706452785))-π/2
    2×atan(0.345865103997216)-π/2
    2×0.332986431736942-π/2
    0.665972863473884-1.57079632675     		φ = -0.90482346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90482346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.842565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14565 KachelY 21921 -0.34878888 -0.90482346 -19.984131 -51.842565
    Oben rechts KachelX + 1 14566 KachelY 21921 -0.34859713 -0.90482346 -19.973144 -51.842565
    Unten links KachelX 14565 KachelY + 1 21922 -0.34878888 -0.90494192 -19.984131 -51.849353
    Unten rechts KachelX + 1 14566 KachelY + 1 21922 -0.34859713 -0.90494192 -19.973144 -51.849353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90482346--0.90494192) × R
    0.000118459999999931 × 6371000     		dl = 754.708659999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90482346--0.90494192) × R
    0.000118459999999931 × 6371000     		dr = 754.708659999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34878888--0.34859713) × cos(-0.90482346) × R
    0.000191750000000046 × 0.617824405804027 × 6371000     		do = 754.758543738308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34878888--0.34859713) × cos(-0.90494192) × R
    0.000191750000000046 × 0.61773125446456 × 6371000     		du = 754.644746405826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90482346)-sin(-0.90494192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617824405804027-0.61773125446456)×R²
    abs(-0.34859713--0.34878888)×9.31513394661909e-05×R²
    0.000191750000000046×9.31513394661909e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.31513394661909e-05×40589641000000     		ar = 569579.867917906m²