Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14564 / 22495
↖ ↑ ↗
← S 55.572134°
W 19.995117°		 ← 690.68 m → S 55.572134°
W 19.984131°		 →
↑
690.62 m
↓
↑
690.62 m
↓
S 55.578345°
W 19.995117°		 ← 690.57 m →
476 954 m²		 S 55.578345°
W 19.984131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444473266601562 y=0.686508178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444473266601562 × 215)
    floor (0.444473266601562 × 32768)
    floor (14564.5)     		tx = 14564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686508178710938 × 215)
    floor (0.686508178710938 × 32768)
    floor (22495.5)     		ty = 22495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14564 / 22495 ti = "15/14564/22495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14564/22495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14564 ÷ 215
    14564 ÷ 32768     		x = 0.4444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22495 ÷ 215
    22495 ÷ 32768     		y = 0.686492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34898063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.37298583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17176957431265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34898063} λ = -0.34898063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17176957431265))-π/2
    2×atan(0.309818209552688)-π/2
    2×0.300439809452372-π/2
    0.600879618904744-1.57079632675     		φ = -0.96991671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34898063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96991671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.572134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14564 KachelY 22495 -0.34898063 -0.96991671 -19.995117 -55.572134
    Oben rechts KachelX + 1 14565 KachelY 22495 -0.34878888 -0.96991671 -19.984131 -55.572134
    Unten links KachelX 14564 KachelY + 1 22496 -0.34898063 -0.97002511 -19.995117 -55.578345
    Unten rechts KachelX + 1 14565 KachelY + 1 22496 -0.34878888 -0.97002511 -19.984131 -55.578345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96991671--0.97002511) × R
    0.000108400000000008 × 6371000     		dl = 690.616400000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96991671--0.97002511) × R
    0.000108400000000008 × 6371000     		dr = 690.616400000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34898063--0.34878888) × cos(-0.96991671) × R
    0.000191749999999991 × 0.565368233930534 × 6371000     		do = 690.676025272688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34898063--0.34878888) × cos(-0.97002511) × R
    0.000191749999999991 × 0.56527881810188 × 6371000     		du = 690.566791386834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96991671)-sin(-0.97002511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565368233930534-0.56527881810188)×R²
    abs(-0.34878888--0.34898063)×8.94158286536273e-05×R²
    0.000191749999999991×8.94158286536273e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.94158286536273e-05×40589641000000     		ar = 476954.47125134m²