Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14563 / 22499
↖ ↑ ↗
← S 55.596971°
W 20.006104°		 ← 690.24 m → S 55.596971°
W 19.995117°		 →
↑
690.17 m
↓
↑
690.17 m
↓
S 55.603178°
W 20.006104°		 ← 690.13 m →
476 345 m²		 S 55.603178°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444442749023438 y=0.686630249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444442749023438 × 215)
    floor (0.444442749023438 × 32768)
    floor (14563.5)     		tx = 14563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686630249023438 × 215)
    floor (0.686630249023438 × 32768)
    floor (22499.5)     		ty = 22499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14563 / 22499 ti = "15/14563/22499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14563/22499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14563 ÷ 215
    14563 ÷ 32768     		x = 0.444427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22499 ÷ 215
    22499 ÷ 32768     		y = 0.686614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.11114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34917238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.37322998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17253656470657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34917238} λ = -0.34917238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17253656470657))-π/2
    2×atan(0.309580673067845)-π/2
    2×0.300223062025403-π/2
    0.600446124050806-1.57079632675     		φ = -0.97035020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34917238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.006104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97035020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.596971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14563 KachelY 22499 -0.34917238 -0.97035020 -20.006104 -55.596971
    Oben rechts KachelX + 1 14564 KachelY 22499 -0.34898063 -0.97035020 -19.995117 -55.596971
    Unten links KachelX 14563 KachelY + 1 22500 -0.34917238 -0.97045853 -20.006104 -55.603178
    Unten rechts KachelX + 1 14564 KachelY + 1 22500 -0.34898063 -0.97045853 -19.995117 -55.603178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97035020--0.97045853) × R
    0.00010832999999999 × 6371000     		dl = 690.170429999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97035020--0.97045853) × R
    0.00010832999999999 × 6371000     		dr = 690.170429999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34917238--0.34898063) × cos(-0.97035020) × R
    0.000191749999999991 × 0.56501062152527 × 6371000     		do = 690.23915192213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34917238--0.34898063) × cos(-0.97045853) × R
    0.000191749999999991 × 0.564921236900427 × 6371000     		du = 690.129956156075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97035020)-sin(-0.97045853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56501062152527-0.564921236900427)×R²
    abs(-0.34898063--0.34917238)×8.93846248429808e-05×R²
    0.000191749999999991×8.93846248429808e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.93846248429808e-05×40589641000000     		ar = 476344.970906837m²