Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14563 / 21916
↖ ↑ ↗
← S 51.808615°
W 20.006104°		 ← 755.33 m → S 51.808615°
W 19.995117°		 →
↑
755.22 m
↓
↑
755.22 m
↓
S 51.815407°
W 20.006104°		 ← 755.21 m →
570 394 m²		 S 51.815407°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444442749023438 y=0.668838500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444442749023438 × 215)
    floor (0.444442749023438 × 32768)
    floor (14563.5)     		tx = 14563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668838500976562 × 215)
    floor (0.668838500976562 × 32768)
    floor (21916.5)     		ty = 21916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14563 / 21916 ti = "15/14563/21916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14563/21916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14563 ÷ 215
    14563 ÷ 32768     		x = 0.444427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21916 ÷ 215
    21916 ÷ 32768     		y = 0.6688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.11114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34917238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0607477147926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34917238} λ = -0.34917238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0607477147926))-π/2
    2×atan(0.346196857019366)-π/2
    2×0.333282709247098-π/2
    0.666565418494195-1.57079632675     		φ = -0.90423091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34917238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.006104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90423091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.808615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14563 KachelY 21916 -0.34917238 -0.90423091 -20.006104 -51.808615
    Oben rechts KachelX + 1 14564 KachelY 21916 -0.34898063 -0.90423091 -19.995117 -51.808615
    Unten links KachelX 14563 KachelY + 1 21917 -0.34917238 -0.90434945 -20.006104 -51.815407
    Unten rechts KachelX + 1 14564 KachelY + 1 21917 -0.34898063 -0.90434945 -19.995117 -51.815407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90423091--0.90434945) × R
    0.00011854 × 6371000     		dl = 755.218340000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90423091--0.90434945) × R
    0.00011854 × 6371000     		dr = 755.218340000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34917238--0.34898063) × cos(-0.90423091) × R
    0.000191749999999991 × 0.618290228915873 × 6371000     		do = 755.327611535079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34917238--0.34898063) × cos(-0.90434945) × R
    0.000191749999999991 × 0.618197058074879 × 6371000     		du = 755.213790378765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90423091)-sin(-0.90434945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618290228915873-0.618197058074879)×R²
    abs(-0.34898063--0.34917238)×9.3170840994139e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3170840994139e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3170840994139e-05×40589641000000     		ar = 570394.28569546m²