Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14561 / 22369
↖ ↑ ↗
← S 54.781682°
W 20.028076°		 ← 704.51 m → S 54.781682°
W 20.017090°		 →
↑
704.44 m
↓
↑
704.44 m
↓
S 54.788017°
W 20.028076°		 ← 704.40 m →
496 248 m²		 S 54.788017°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444381713867188 y=0.682662963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444381713867188 × 215)
    floor (0.444381713867188 × 32768)
    floor (14561.5)     		tx = 14561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682662963867188 × 215)
    floor (0.682662963867188 × 32768)
    floor (22369.5)     		ty = 22369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14561 / 22369 ti = "15/14561/22369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14561/22369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14561 ÷ 215
    14561 ÷ 32768     		x = 0.444366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22369 ÷ 215
    22369 ÷ 32768     		y = 0.682647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.11126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34955587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.36529541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14760937690414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34955587} λ = -0.34955587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14760937690414))-π/2
    2×atan(0.317394634076414)-π/2
    2×0.307337802193815-π/2
    0.614675604387629-1.57079632675     		φ = -0.95612072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34955587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.028076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95612072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.781682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14561 KachelY 22369 -0.34955587 -0.95612072 -20.028076 -54.781682
    Oben rechts KachelX + 1 14562 KachelY 22369 -0.34936412 -0.95612072 -20.017090 -54.781682
    Unten links KachelX 14561 KachelY + 1 22370 -0.34955587 -0.95623129 -20.028076 -54.788017
    Unten rechts KachelX + 1 14562 KachelY + 1 22370 -0.34936412 -0.95623129 -20.017090 -54.788017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95612072--0.95623129) × R
    0.000110569999999921 × 6371000     		dl = 704.441469999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95612072--0.95623129) × R
    0.000110569999999921 × 6371000     		dr = 704.441469999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34955587--0.34936412) × cos(-0.95612072) × R
    0.000191749999999991 × 0.576693536176813 × 6371000     		do = 704.511459014855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34955587--0.34936412) × cos(-0.95623129) × R
    0.000191749999999991 × 0.576603201322039 × 6371000     		du = 704.40110241062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95612072)-sin(-0.95623129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576693536176813-0.576603201322039)×R²
    abs(-0.34936412--0.34955587)×9.03348547744987e-05×R²
    0.000191749999999991×9.03348547744987e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.03348547744987e-05×40589641000000     		ar = 496248.218440774m²