Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14560 / 22514
↖ ↑ ↗
← S 55.689972°
W 20.039063°		 ← 688.60 m → S 55.689972°
W 20.028076°		 →
↑
688.51 m
↓
↑
688.51 m
↓
S 55.696164°
W 20.039063°		 ← 688.49 m →
474 075 m²		 S 55.696164°
W 20.028076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444351196289062 y=0.687088012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444351196289062 × 215)
    floor (0.444351196289062 × 32768)
    floor (14560.5)     		tx = 14560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687088012695312 × 215)
    floor (0.687088012695312 × 32768)
    floor (22514.5)     		ty = 22514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14560 / 22514 ti = "15/14560/22514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14560/22514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14560 ÷ 215
    14560 ÷ 32768     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22514 ÷ 215
    22514 ÷ 32768     		y = 0.68707275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68707275390625 × 2 - 1) × π
    -0.3741455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17541277868378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17541277868378))-π/2
    2×atan(0.308691532101692)-π/2
    2×0.299411480032642-π/2
    0.598822960065283-1.57079632675     		φ = -0.97197337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97197337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.689972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14560 KachelY 22514 -0.34974762 -0.97197337 -20.039063 -55.689972
    Oben rechts KachelX + 1 14561 KachelY 22514 -0.34955587 -0.97197337 -20.028076 -55.689972
    Unten links KachelX 14560 KachelY + 1 22515 -0.34974762 -0.97208144 -20.039063 -55.696164
    Unten rechts KachelX + 1 14561 KachelY + 1 22515 -0.34955587 -0.97208144 -20.028076 -55.696164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97197337--0.97208144) × R
    0.000108070000000016 × 6371000     		dl = 688.5139700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97197337--0.97208144) × R
    0.000108070000000016 × 6371000     		dr = 688.5139700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34955587) × cos(-0.97197337) × R
    0.000191749999999991 × 0.563670626805425 × 6371000     		do = 688.602161777575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34955587) × cos(-0.97208144) × R
    0.000191749999999991 × 0.563581357731658 × 6371000     		du = 688.493107173251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97197337)-sin(-0.97208144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563670626805425-0.563581357731658)×R²
    abs(-0.34955587--0.34974762)×8.92690737667179e-05×R²
    0.000191749999999991×8.92690737667179e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.92690737667179e-05×40589641000000     		ar = 474074.665808441m²