Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14555 / 22364
↖ ↑ ↗
← S 54.749991°
W 20.093994°		 ← 705.06 m → S 54.749991°
W 20.083008°		 →
↑
705.01 m
↓
↑
705.01 m
↓
S 54.756331°
W 20.093994°		 ← 704.95 m →
497 041 m²		 S 54.756331°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444198608398438 y=0.682510375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444198608398438 × 215)
    floor (0.444198608398438 × 32768)
    floor (14555.5)     		tx = 14555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682510375976562 × 215)
    floor (0.682510375976562 × 32768)
    floor (22364.5)     		ty = 22364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14555 / 22364 ti = "15/14555/22364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14555/22364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14555 ÷ 215
    14555 ÷ 32768     		x = 0.444183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22364 ÷ 215
    22364 ÷ 32768     		y = 0.6824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35070636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14665063891174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35070636} λ = -0.35070636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14665063891174))-π/2
    2×atan(0.317699078288484)-π/2
    2×0.307614359473094-π/2
    0.615228718946187-1.57079632675     		φ = -0.95556761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35070636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.093994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95556761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.749991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14555 KachelY 22364 -0.35070636 -0.95556761 -20.093994 -54.749991
    Oben rechts KachelX + 1 14556 KachelY 22364 -0.35051461 -0.95556761 -20.083008 -54.749991
    Unten links KachelX 14555 KachelY + 1 22365 -0.35070636 -0.95567827 -20.093994 -54.756331
    Unten rechts KachelX + 1 14556 KachelY + 1 22365 -0.35051461 -0.95567827 -20.083008 -54.756331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95556761--0.95567827) × R
    0.00011066000000004 × 6371000     		dl = 705.014860000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95556761--0.95567827) × R
    0.00011066000000004 × 6371000     		dr = 705.014860000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35070636--0.35051461) × cos(-0.95556761) × R
    0.000191749999999991 × 0.577145316997954 × 6371000     		do = 705.063372198358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35070636--0.35051461) × cos(-0.95567827) × R
    0.000191749999999991 × 0.577054943919818 × 6371000     		du = 704.952968898963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95556761)-sin(-0.95567827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577145316997954-0.577054943919818)×R²
    abs(-0.35051461--0.35070636)×9.03730781361967e-05×R²
    0.000191749999999991×9.03730781361967e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.03730781361967e-05×40589641000000     		ar = 497041.237165694m²