Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14554 / 22519
↖ ↑ ↗
← S 55.720923°
W 20.104981°		 ← 688.06 m → S 55.720923°
W 20.093994°		 →
↑
687.94 m
↓
↑
687.94 m
↓
S 55.727110°
W 20.104981°		 ← 687.95 m →
473 305 m²		 S 55.727110°
W 20.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444168090820312 y=0.687240600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444168090820312 × 215)
    floor (0.444168090820312 × 32768)
    floor (14554.5)     		tx = 14554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687240600585938 × 215)
    floor (0.687240600585938 × 32768)
    floor (22519.5)     		ty = 22519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14554 / 22519 ti = "15/14554/22519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14554/22519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14554 ÷ 215
    14554 ÷ 32768     		x = 0.44415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22519 ÷ 215
    22519 ÷ 32768     		y = 0.687225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35089811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.37445068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17637151667618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35089811} λ = -0.35089811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17637151667618))-π/2
    2×atan(0.308395719627921)-π/2
    2×0.299141380784174-π/2
    0.598282761568348-1.57079632675     		φ = -0.97251357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35089811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97251357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.720923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14554 KachelY 22519 -0.35089811 -0.97251357 -20.104981 -55.720923
    Oben rechts KachelX + 1 14555 KachelY 22519 -0.35070636 -0.97251357 -20.093994 -55.720923
    Unten links KachelX 14554 KachelY + 1 22520 -0.35089811 -0.97262155 -20.104981 -55.727110
    Unten rechts KachelX + 1 14555 KachelY + 1 22520 -0.35070636 -0.97262155 -20.093994 -55.727110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97251357--0.97262155) × R
    0.000107979999999896 × 6371000     		dl = 687.940579999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97251357--0.97262155) × R
    0.000107979999999896 × 6371000     		dr = 687.940579999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35089811--0.35070636) × cos(-0.97251357) × R
    0.000191749999999991 × 0.563224339571258 × 6371000     		do = 688.056959775543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35089811--0.35070636) × cos(-0.97262155) × R
    0.000191749999999991 × 0.563135111979201 × 6371000     		du = 687.947955846903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97251357)-sin(-0.97262155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563224339571258-0.563135111979201)×R²
    abs(-0.35070636--0.35089811)×8.92275920573171e-05×R²
    0.000191749999999991×8.92275920573171e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.92275920573171e-05×40589641000000     		ar = 473304.810327806m²