Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14553 / 22197
↖ ↑ ↗
← S 53.677188°
W 20.115967°		 ← 723.58 m → S 53.677188°
W 20.104981°		 →
↑
723.55 m
↓
↑
723.55 m
↓
S 53.683695°
W 20.115967°		 ← 723.47 m →
523 510 m²		 S 53.683695°
W 20.104981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444137573242188 y=0.677413940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444137573242188 × 215)
    floor (0.444137573242188 × 32768)
    floor (14553.5)     		tx = 14553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677413940429688 × 215)
    floor (0.677413940429688 × 32768)
    floor (22197.5)     		ty = 22197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14553 / 22197 ti = "15/14553/22197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14553/22197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14553 ÷ 215
    14553 ÷ 32768     		x = 0.444122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22197 ÷ 215
    22197 ÷ 32768     		y = 0.677398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.11175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35108985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.35479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11462878996555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35108985} λ = -0.35108985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11462878996555))-π/2
    2×atan(0.328037026937216)-π/2
    2×0.316976329128218-π/2
    0.633952658256435-1.57079632675     		φ = -0.93684367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35108985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.115967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93684367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.677188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14553 KachelY 22197 -0.35108985 -0.93684367 -20.115967 -53.677188
    Oben rechts KachelX + 1 14554 KachelY 22197 -0.35089811 -0.93684367 -20.104981 -53.677188
    Unten links KachelX 14553 KachelY + 1 22198 -0.35108985 -0.93695724 -20.115967 -53.683695
    Unten rechts KachelX + 1 14554 KachelY + 1 22198 -0.35089811 -0.93695724 -20.104981 -53.683695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93684367--0.93695724) × R
    0.000113570000000007 × 6371000     		dl = 723.554470000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93684367--0.93695724) × R
    0.000113570000000007 × 6371000     		dr = 723.554470000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35108985--0.35089811) × cos(-0.93684367) × R
    0.000191739999999996 × 0.592334002802623 × 6371000     		do = 723.58072933396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35108985--0.35089811) × cos(-0.93695724) × R
    0.000191739999999996 × 0.592242496483858 × 6371000     		du = 723.468947453201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93684367)-sin(-0.93695724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592334002802623-0.592242496483858)×R²
    abs(-0.35089811--0.35108985)×9.15063187647558e-05×R²
    0.000191739999999996×9.15063187647558e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.15063187647558e-05×40589641000000     		ar = 523509.631538192m²