Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14548 / 22391
↖ ↑ ↗
← S 54.920828°
W 20.170898°		 ← 702.09 m → S 54.920828°
W 20.159912°		 →
↑
702.02 m
↓
↑
702.02 m
↓
S 54.927142°
W 20.170898°		 ← 701.98 m →
492 840 m²		 S 54.927142°
W 20.159912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443984985351562 y=0.683334350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443984985351562 × 215)
    floor (0.443984985351562 × 32768)
    floor (14548.5)     		tx = 14548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683334350585938 × 215)
    floor (0.683334350585938 × 32768)
    floor (22391.5)     		ty = 22391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14548 / 22391 ti = "15/14548/22391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14548/22391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14548 ÷ 215
    14548 ÷ 32768     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22391 ÷ 215
    22391 ÷ 32768     		y = 0.683319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.36663818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15182782407071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15182782407071))-π/2
    2×atan(0.316058541680549)-π/2
    2×0.30612352138069-π/2
    0.61224704276138-1.57079632675     		φ = -0.95854928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95854928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.920828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14548 KachelY 22391 -0.35204859 -0.95854928 -20.170898 -54.920828
    Oben rechts KachelX + 1 14549 KachelY 22391 -0.35185684 -0.95854928 -20.159912 -54.920828
    Unten links KachelX 14548 KachelY + 1 22392 -0.35204859 -0.95865947 -20.170898 -54.927142
    Unten rechts KachelX + 1 14549 KachelY + 1 22392 -0.35185684 -0.95865947 -20.159912 -54.927142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95854928--0.95865947) × R
    0.00011019000000001 × 6371000     		dl = 702.020490000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95854928--0.95865947) × R
    0.00011019000000001 × 6371000     		dr = 702.020490000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35185684) × cos(-0.95854928) × R
    0.000191749999999991 × 0.574707799735884 × 6371000     		do = 702.085605438461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35185684) × cos(-0.95865947) × R
    0.000191749999999991 × 0.57461762130305 × 6371000     		du = 701.975439925408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95854928)-sin(-0.95865947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574707799735884-0.57461762130305)×R²
    abs(-0.35185684--0.35204859)×9.01784328338762e-05×R²
    0.000191749999999991×9.01784328338762e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.01784328338762e-05×40589641000000     		ar = 492839.812027378m²