Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14547 / 22453
↖ ↑ ↗
← S 55.310391°
W 20.181885°		 ← 695.27 m → S 55.310391°
W 20.170898°		 →
↑
695.20 m
↓
↑
695.20 m
↓
S 55.316643°
W 20.181885°		 ← 695.16 m →
483 317 m²		 S 55.316643°
W 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443954467773438 y=0.685226440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443954467773438 × 215)
    floor (0.443954467773438 × 32768)
    floor (14547.5)     		tx = 14547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685226440429688 × 215)
    floor (0.685226440429688 × 32768)
    floor (22453.5)     		ty = 22453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14547 / 22453 ti = "15/14547/22453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14547/22453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14547 ÷ 215
    14547 ÷ 32768     		x = 0.443939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22453 ÷ 215
    22453 ÷ 32768     		y = 0.685211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.11212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35224034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685211181640625 × 2 - 1) × π
    -0.37042236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16371617517648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35224034} λ = -0.35224034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16371617517648))-π/2
    2×atan(0.312323373255651)-π/2
    2×0.302723947663245-π/2
    0.605447895326491-1.57079632675     		φ = -0.96534843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35224034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.181885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96534843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.310391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14547 KachelY 22453 -0.35224034 -0.96534843 -20.181885 -55.310391
    Oben rechts KachelX + 1 14548 KachelY 22453 -0.35204859 -0.96534843 -20.170898 -55.310391
    Unten links KachelX 14547 KachelY + 1 22454 -0.35224034 -0.96545755 -20.181885 -55.316643
    Unten rechts KachelX + 1 14548 KachelY + 1 22454 -0.35204859 -0.96545755 -20.170898 -55.316643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96534843--0.96545755) × R
    0.000109119999999963 × 6371000     		dl = 695.203519999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96534843--0.96545755) × R
    0.000109119999999963 × 6371000     		dr = 695.203519999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35224034--0.35204859) × cos(-0.96534843) × R
    0.000191749999999991 × 0.569130415249791 × 6371000     		do = 695.272053637909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35224034--0.35204859) × cos(-0.96545755) × R
    0.000191749999999991 × 0.569040688239671 × 6371000     		du = 695.162439600561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96534843)-sin(-0.96545755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569130415249791-0.569040688239671)×R²
    abs(-0.35204859--0.35224034)×8.97270101203329e-05×R²
    0.000191749999999991×8.97270101203329e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.97270101203329e-05×40589641000000     		ar = 483317.477493247m²