Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14547 / 22404
↖ ↑ ↗
← S 55.002826°
W 20.181885°		 ← 700.65 m → S 55.002826°
W 20.170898°		 →
↑
700.56 m
↓
↑
700.56 m
↓
S 55.009126°
W 20.181885°		 ← 700.54 m →
490 808 m²		 S 55.009126°
W 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443954467773438 y=0.683731079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443954467773438 × 215)
    floor (0.443954467773438 × 32768)
    floor (14547.5)     		tx = 14547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683731079101562 × 215)
    floor (0.683731079101562 × 32768)
    floor (22404.5)     		ty = 22404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14547 / 22404 ti = "15/14547/22404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14547/22404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14547 ÷ 215
    14547 ÷ 32768     		x = 0.443939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22404 ÷ 215
    22404 ÷ 32768     		y = 0.6837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.11212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35224034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15432054285095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35224034} λ = -0.35224034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15432054285095))-π/2
    2×atan(0.315271677740747)-π/2
    2×0.305407959266005-π/2
    0.610815918532011-1.57079632675     		φ = -0.95998041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35224034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.181885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95998041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.002826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14547 KachelY 22404 -0.35224034 -0.95998041 -20.181885 -55.002826
    Oben rechts KachelX + 1 14548 KachelY 22404 -0.35204859 -0.95998041 -20.170898 -55.002826
    Unten links KachelX 14547 KachelY + 1 22405 -0.35224034 -0.96009037 -20.181885 -55.009126
    Unten rechts KachelX + 1 14548 KachelY + 1 22405 -0.35204859 -0.96009037 -20.170898 -55.009126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95998041--0.96009037) × R
    0.000109959999999965 × 6371000     		dl = 700.555159999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95998041--0.96009037) × R
    0.000109959999999965 × 6371000     		dr = 700.555159999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35224034--0.35204859) × cos(-0.95998041) × R
    0.000191749999999991 × 0.573536033925229 × 6371000     		do = 700.654130332357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35224034--0.35204859) × cos(-0.96009037) × R
    0.000191749999999991 × 0.573445953388637 × 6371000     		du = 700.544084413194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95998041)-sin(-0.96009037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573536033925229-0.573445953388637)×R²
    abs(-0.35204859--0.35224034)×9.00805365926516e-05×R²
    0.000191749999999991×9.00805365926516e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.00805365926516e-05×40589641000000     		ar = 490808.320255319m²