Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14547 / 22155
↖ ↑ ↗
← S 53.402982°
W 20.181885°		 ← 728.32 m → S 53.402982°
W 20.170898°		 →
↑
728.27 m
↓
↑
728.27 m
↓
S 53.409532°
W 20.181885°		 ← 728.21 m →
530 373 m²		 S 53.409532°
W 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443954467773438 y=0.676132202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443954467773438 × 215)
    floor (0.443954467773438 × 32768)
    floor (14547.5)     		tx = 14547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676132202148438 × 215)
    floor (0.676132202148438 × 32768)
    floor (22155.5)     		ty = 22155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14547 / 22155 ti = "15/14547/22155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14547/22155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14547 ÷ 215
    14547 ÷ 32768     		x = 0.443939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22155 ÷ 215
    22155 ÷ 32768     		y = 0.676116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.11212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35224034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676116943359375 × 2 - 1) × π
    -0.35223388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10657539082938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35224034} λ = -0.35224034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10657539082938))-π/2
    2×atan(0.330689506448661)-π/2
    2×0.319369225952114-π/2
    0.638738451904229-1.57079632675     		φ = -0.93205787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35224034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.181885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93205787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.402982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14547 KachelY 22155 -0.35224034 -0.93205787 -20.181885 -53.402982
    Oben rechts KachelX + 1 14548 KachelY 22155 -0.35204859 -0.93205787 -20.170898 -53.402982
    Unten links KachelX 14547 KachelY + 1 22156 -0.35224034 -0.93217218 -20.181885 -53.409532
    Unten rechts KachelX + 1 14548 KachelY + 1 22156 -0.35204859 -0.93217218 -20.170898 -53.409532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93205787--0.93217218) × R
    0.000114310000000062 × 6371000     		dl = 728.269010000394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93205787--0.93217218) × R
    0.000114310000000062 × 6371000     		dr = 728.269010000394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35224034--0.35204859) × cos(-0.93205787) × R
    0.000191749999999991 × 0.596183087961991 × 6371000     		do = 728.320660440535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35224034--0.35204859) × cos(-0.93217218) × R
    0.000191749999999991 × 0.596091310454229 × 6371000     		du = 728.208541434786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93205787)-sin(-0.93217218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596183087961991-0.596091310454229)×R²
    abs(-0.35204859--0.35224034)×9.17775077617922e-05×R²
    0.000191749999999991×9.17775077617922e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.17775077617922e-05×40589641000000     		ar = 530372.540520657m²