Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14546 / 22464
↖ ↑ ↗
← S 55.379110°
W 20.192871°		 ← 694.07 m → S 55.379110°
W 20.181885°		 →
↑
694.06 m
↓
↑
694.06 m
↓
S 55.385352°
W 20.192871°		 ← 693.96 m →
481 684 m²		 S 55.385352°
W 20.181885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443923950195312 y=0.685562133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443923950195312 × 215)
    floor (0.443923950195312 × 32768)
    floor (14546.5)     		tx = 14546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685562133789062 × 215)
    floor (0.685562133789062 × 32768)
    floor (22464.5)     		ty = 22464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14546 / 22464 ti = "15/14546/22464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14546/22464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14546 ÷ 215
    14546 ÷ 32768     		x = 0.44390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22464 ÷ 215
    22464 ÷ 32768     		y = 0.685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685546875 × 2 - 1) × π
    -0.37109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16582539875977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35243209} λ = -0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16582539875977))-π/2
    2×atan(0.311665307678855)-π/2
    2×0.302124256335227-π/2
    0.604248512670453-1.57079632675     		φ = -0.96654781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96654781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.379110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14546 KachelY 22464 -0.35243209 -0.96654781 -20.192871 -55.379110
    Oben rechts KachelX + 1 14547 KachelY 22464 -0.35224034 -0.96654781 -20.181885 -55.379110
    Unten links KachelX 14546 KachelY + 1 22465 -0.35243209 -0.96665675 -20.192871 -55.385352
    Unten rechts KachelX + 1 14547 KachelY + 1 22465 -0.35224034 -0.96665675 -20.181885 -55.385352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96654781--0.96665675) × R
    0.000108939999999946 × 6371000     		dl = 694.056739999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96654781--0.96665675) × R
    0.000108939999999946 × 6371000     		dr = 694.056739999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35243209--0.35224034) × cos(-0.96654781) × R
    0.000191749999999991 × 0.568143819206898 × 6371000     		do = 694.066789188016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35243209--0.35224034) × cos(-0.96665675) × R
    0.000191749999999991 × 0.568054165919914 × 6371000     		du = 693.957265213745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96654781)-sin(-0.96665675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568143819206898-0.568054165919914)×R²
    abs(-0.35224034--0.35243209)×8.96532869835154e-05×R²
    0.000191749999999991×8.96532869835154e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.96532869835154e-05×40589641000000     		ar = 481683.72559664m²