Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14545 / 22609
↖ ↑ ↗
← S 56.273861°
W 20.203857°		 ← 678.25 m → S 56.273861°
W 20.192871°		 →
↑
678.26 m
↓
↑
678.26 m
↓
S 56.279961°
W 20.203857°		 ← 678.14 m →
459 990 m²		 S 56.279961°
W 20.192871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443893432617188 y=0.689987182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443893432617188 × 215)
    floor (0.443893432617188 × 32768)
    floor (14545.5)     		tx = 14545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689987182617188 × 215)
    floor (0.689987182617188 × 32768)
    floor (22609.5)     		ty = 22609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14545 / 22609 ti = "15/14545/22609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14545/22609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14545 ÷ 215
    14545 ÷ 32768     		x = 0.443878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22609 ÷ 215
    22609 ÷ 32768     		y = 0.689971923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.11224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35262383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689971923828125 × 2 - 1) × π
    -0.37994384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1936288005394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35262383} λ = -0.35262383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1936288005394))-π/2
    2×atan(0.303119306381117)-π/2
    2×0.294316080884622-π/2
    0.588632161769243-1.57079632675     		φ = -0.98216416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35262383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.203857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98216416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.273861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14545 KachelY 22609 -0.35262383 -0.98216416 -20.203857 -56.273861
    Oben rechts KachelX + 1 14546 KachelY 22609 -0.35243209 -0.98216416 -20.192871 -56.273861
    Unten links KachelX 14545 KachelY + 1 22610 -0.35262383 -0.98227062 -20.203857 -56.279961
    Unten rechts KachelX + 1 14546 KachelY + 1 22610 -0.35243209 -0.98227062 -20.192871 -56.279961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98216416--0.98227062) × R
    0.00010646000000003 × 6371000     		dl = 678.256660000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98216416--0.98227062) × R
    0.00010646000000003 × 6371000     		dr = 678.256660000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35262383--0.35243209) × cos(-0.98216416) × R
    0.000191740000000051 × 0.555223914548195 × 6371000     		do = 678.247953235307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35262383--0.35243209) × cos(-0.98227062) × R
    0.000191740000000051 × 0.555135368523039 × 6371000     		du = 678.139787576812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98216416)-sin(-0.98227062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555223914548195-0.555135368523039)×R²
    abs(-0.35243209--0.35262383)×8.85460251559556e-05×R²
    0.000191740000000051×8.85460251559556e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.85460251559556e-05×40589641000000     		ar = 459989.50980851m²