Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14543 / 22238
↖ ↑ ↗
← S 53.943155°
W 20.225830°		 ← 719.04 m → S 53.943155°
W 20.214844°		 →
↑
718.97 m
↓
↑
718.97 m
↓
S 53.949621°
W 20.225830°		 ← 718.93 m →
516 927 m²		 S 53.949621°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443832397460938 y=0.678665161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443832397460938 × 215)
    floor (0.443832397460938 × 32768)
    floor (14543.5)     		tx = 14543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678665161132812 × 215)
    floor (0.678665161132812 × 32768)
    floor (22238.5)     		ty = 22238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14543 / 22238 ti = "15/14543/22238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14543/22238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14543 ÷ 215
    14543 ÷ 32768     		x = 0.443817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22238 ÷ 215
    22238 ÷ 32768     		y = 0.67864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35300733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.3572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12249044150323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35300733} λ = -0.35300733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12249044150323))-π/2
    2×atan(0.32546822488379)-π/2
    2×0.314655334173434-π/2
    0.629310668346869-1.57079632675     		φ = -0.94148566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35300733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.225830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94148566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.943155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14543 KachelY 22238 -0.35300733 -0.94148566 -20.225830 -53.943155
    Oben rechts KachelX + 1 14544 KachelY 22238 -0.35281558 -0.94148566 -20.214844 -53.943155
    Unten links KachelX 14543 KachelY + 1 22239 -0.35300733 -0.94159851 -20.225830 -53.949621
    Unten rechts KachelX + 1 14544 KachelY + 1 22239 -0.35281558 -0.94159851 -20.214844 -53.949621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94148566--0.94159851) × R
    0.000112850000000053 × 6371000     		dl = 718.967350000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94148566--0.94159851) × R
    0.000112850000000053 × 6371000     		dr = 718.967350000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35300733--0.35281558) × cos(-0.94148566) × R
    0.000191749999999991 × 0.588587617819289 × 6371000     		do = 719.041735992008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35300733--0.35281558) × cos(-0.94159851) × R
    0.000191749999999991 × 0.588496382358662 × 6371000     		du = 718.930279172314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94148566)-sin(-0.94159851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588587617819289-0.588496382358662)×R²
    abs(-0.35281558--0.35300733)×9.12354606270593e-05×R²
    0.000191749999999991×9.12354606270593e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.12354606270593e-05×40589641000000     		ar = 516927.46510761m²