Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14543 / 21869
↖ ↑ ↗
← S 51.488224°
W 20.225830°		 ← 760.68 m → S 51.488224°
W 20.214844°		 →
↑
760.63 m
↓
↑
760.63 m
↓
S 51.495065°
W 20.225830°		 ← 760.57 m →
578 559 m²		 S 51.495065°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443832397460938 y=0.667404174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443832397460938 × 215)
    floor (0.443832397460938 × 32768)
    floor (14543.5)     		tx = 14543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667404174804688 × 215)
    floor (0.667404174804688 × 32768)
    floor (21869.5)     		ty = 21869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14543 / 21869 ti = "15/14543/21869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14543/21869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14543 ÷ 215
    14543 ÷ 32768     		x = 0.443817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21869 ÷ 215
    21869 ÷ 32768     		y = 0.667388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35300733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667388916015625 × 2 - 1) × π
    -0.33477783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05173557766403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35300733} λ = -0.35300733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05173557766403))-π/2
    2×atan(0.349330931711682)-π/2
    2×0.336078643156915-π/2
    0.672157286313831-1.57079632675     		φ = -0.89863904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35300733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.225830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89863904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.488224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14543 KachelY 21869 -0.35300733 -0.89863904 -20.225830 -51.488224
    Oben rechts KachelX + 1 14544 KachelY 21869 -0.35281558 -0.89863904 -20.214844 -51.488224
    Unten links KachelX 14543 KachelY + 1 21870 -0.35300733 -0.89875843 -20.225830 -51.495065
    Unten rechts KachelX + 1 14544 KachelY + 1 21870 -0.35281558 -0.89875843 -20.214844 -51.495065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89863904--0.89875843) × R
    0.000119390000000053 × 6371000     		dl = 760.633690000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89863904--0.89875843) × R
    0.000119390000000053 × 6371000     		dr = 760.633690000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35300733--0.35281558) × cos(-0.89863904) × R
    0.000191749999999991 × 0.622675468855821 × 6371000     		do = 760.684792766386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35300733--0.35281558) × cos(-0.89875843) × R
    0.000191749999999991 × 0.622582044107387 × 6371000     		du = 760.570661426778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89863904)-sin(-0.89875843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622675468855821-0.622582044107387)×R²
    abs(-0.35281558--0.35300733)×9.3424748433657e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3424748433657e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3424748433657e-05×40589641000000     		ar = 578559.075464879m²