Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14542 / 21894
↖ ↑ ↗
← S 51.658927°
W 20.236817°		 ← 757.83 m → S 51.658927°
W 20.225830°		 →
↑
757.77 m
↓
↑
757.77 m
↓
S 51.665742°
W 20.236817°		 ← 757.72 m →
574 218 m²		 S 51.665742°
W 20.225830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443801879882812 y=0.668167114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443801879882812 × 215)
    floor (0.443801879882812 × 32768)
    floor (14542.5)     		tx = 14542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668167114257812 × 215)
    floor (0.668167114257812 × 32768)
    floor (21894.5)     		ty = 21894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14542 / 21894 ti = "15/14542/21894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14542/21894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14542 ÷ 215
    14542 ÷ 32768     		x = 0.44378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21894 ÷ 215
    21894 ÷ 32768     		y = 0.66815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.1124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35319908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.3363037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05652926762604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35319908} λ = -0.35319908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05652926762604))-π/2
    2×atan(0.347660354843777)-π/2
    2×0.33458898437291-π/2
    0.66917796874582-1.57079632675     		φ = -0.90161836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35319908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.236817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90161836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.658927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14542 KachelY 21894 -0.35319908 -0.90161836 -20.236817 -51.658927
    Oben rechts KachelX + 1 14543 KachelY 21894 -0.35300733 -0.90161836 -20.225830 -51.658927
    Unten links KachelX 14542 KachelY + 1 21895 -0.35319908 -0.90173730 -20.236817 -51.665742
    Unten rechts KachelX + 1 14543 KachelY + 1 21895 -0.35300733 -0.90173730 -20.225830 -51.665742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90161836--0.90173730) × R
    0.000118940000000012 × 6371000     		dl = 757.766740000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90161836--0.90173730) × R
    0.000118940000000012 × 6371000     		dr = 757.766740000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35319908--0.35300733) × cos(-0.90161836) × R
    0.000191749999999991 × 0.620341449860806 × 6371000     		do = 757.833463551831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35319908--0.35300733) × cos(-0.90173730) × R
    0.000191749999999991 × 0.62024815704026 × 6371000     		du = 757.719493380508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90161836)-sin(-0.90173730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620341449860806-0.62024815704026)×R²
    abs(-0.35300733--0.35319908)×9.32928205465977e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32928205465977e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32928205465977e-05×40589641000000     		ar = 574217.812413196m²