Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14542 / 21889
↖ ↑ ↗
← S 51.624837°
W 20.236817°		 ← 758.40 m → S 51.624837°
W 20.225830°		 →
↑
758.34 m
↓
↑
758.34 m
↓
S 51.631657°
W 20.236817°		 ← 758.29 m →
575 085 m²		 S 51.631657°
W 20.225830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443801879882812 y=0.668014526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443801879882812 × 215)
    floor (0.443801879882812 × 32768)
    floor (14542.5)     		tx = 14542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668014526367188 × 215)
    floor (0.668014526367188 × 32768)
    floor (21889.5)     		ty = 21889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14542 / 21889 ti = "15/14542/21889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14542/21889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14542 ÷ 215
    14542 ÷ 32768     		x = 0.44378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21889 ÷ 215
    21889 ÷ 32768     		y = 0.667999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.1124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35319908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.33599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05557052963364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35319908} λ = -0.35319908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05557052963364))-π/2
    2×atan(0.347993829866461)-π/2
    2×0.334886468649648-π/2
    0.669772937299296-1.57079632675     		φ = -0.90102339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35319908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.236817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90102339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.624837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14542 KachelY 21889 -0.35319908 -0.90102339 -20.236817 -51.624837
    Oben rechts KachelX + 1 14543 KachelY 21889 -0.35300733 -0.90102339 -20.225830 -51.624837
    Unten links KachelX 14542 KachelY + 1 21890 -0.35319908 -0.90114242 -20.236817 -51.631657
    Unten rechts KachelX + 1 14543 KachelY + 1 21890 -0.35300733 -0.90114242 -20.225830 -51.631657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90102339--0.90114242) × R
    0.00011903000000002 × 6371000     		dl = 758.340130000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90102339--0.90114242) × R
    0.00011903000000002 × 6371000     		dr = 758.340130000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35319908--0.35300733) × cos(-0.90102339) × R
    0.000191749999999991 × 0.6208079939701 × 6371000     		do = 758.403412147601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35319908--0.35300733) × cos(-0.90114242) × R
    0.000191749999999991 × 0.620714674498393 × 6371000     		du = 758.289409418174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90102339)-sin(-0.90114242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6208079939701-0.620714674498393)×R²
    abs(-0.35300733--0.35319908)×9.33194717070984e-05×R²
    0.000191749999999991×9.33194717070984e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.33194717070984e-05×40589641000000     		ar = 575084.51641719m²