Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14541 / 21911
↖ ↑ ↗
← S 51.774638°
W 20.247803°		 ← 755.86 m → S 51.774638°
W 20.236817°		 →
↑
755.79 m
↓
↑
755.79 m
↓
S 51.781435°
W 20.247803°		 ← 755.74 m →
571 228 m²		 S 51.781435°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443771362304688 y=0.668685913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443771362304688 × 215)
    floor (0.443771362304688 × 32768)
    floor (14541.5)     		tx = 14541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668685913085938 × 215)
    floor (0.668685913085938 × 32768)
    floor (21911.5)     		ty = 21911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14541 / 21911 ti = "15/14541/21911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14541/21911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14541 ÷ 215
    14541 ÷ 32768     		x = 0.443756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21911 ÷ 215
    21911 ÷ 32768     		y = 0.668670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.11248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.33734130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0597889768002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35339082} λ = -0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0597889768002))-π/2
    2×atan(0.34652892825826)-π/2
    2×0.333579210092395-π/2
    0.66715842018479-1.57079632675     		φ = -0.90363791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90363791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.774638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14541 KachelY 21911 -0.35339082 -0.90363791 -20.247803 -51.774638
    Oben rechts KachelX + 1 14542 KachelY 21911 -0.35319908 -0.90363791 -20.236817 -51.774638
    Unten links KachelX 14541 KachelY + 1 21912 -0.35339082 -0.90375654 -20.247803 -51.781435
    Unten rechts KachelX + 1 14542 KachelY + 1 21912 -0.35319908 -0.90375654 -20.236817 -51.781435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90363791--0.90375654) × R
    0.000118630000000008 × 6371000     		dl = 755.791730000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90363791--0.90375654) × R
    0.000118630000000008 × 6371000     		dr = 755.791730000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(-0.90363791) × R
    0.000191739999999996 × 0.618756188448891 × 6371000     		do = 755.85742503278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(-0.90375654) × R
    0.000191739999999996 × 0.618662990374151 × 6371000     		du = 755.743576544301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90363791)-sin(-0.90375654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618756188448891-0.618662990374151)×R²
    abs(-0.35319908--0.35339082)×9.31980747409522e-05×R²
    0.000191739999999996×9.31980747409522e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.31980747409522e-05×40589641000000     		ar = 571227.768695736m²