Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14541 / 21891
↖ ↑ ↗
← S 51.638476°
W 20.247803°		 ← 758.14 m → S 51.638476°
W 20.236817°		 →
↑
758.09 m
↓
↑
758.09 m
↓
S 51.645294°
W 20.247803°		 ← 758.02 m →
574 688 m²		 S 51.645294°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443771362304688 y=0.668075561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443771362304688 × 215)
    floor (0.443771362304688 × 32768)
    floor (14541.5)     		tx = 14541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668075561523438 × 215)
    floor (0.668075561523438 × 32768)
    floor (21891.5)     		ty = 21891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14541 / 21891 ti = "15/14541/21891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14541/21891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14541 ÷ 215
    14541 ÷ 32768     		x = 0.443756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21891 ÷ 215
    21891 ÷ 32768     		y = 0.668060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.11248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668060302734375 × 2 - 1) × π
    -0.33612060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0559540248306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35339082} λ = -0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0559540248306))-π/2
    2×atan(0.347860401490341)-π/2
    2×0.334767448101152-π/2
    0.669534896202304-1.57079632675     		φ = -0.90126143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90126143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.638476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14541 KachelY 21891 -0.35339082 -0.90126143 -20.247803 -51.638476
    Oben rechts KachelX + 1 14542 KachelY 21891 -0.35319908 -0.90126143 -20.236817 -51.638476
    Unten links KachelX 14541 KachelY + 1 21892 -0.35339082 -0.90138042 -20.247803 -51.645294
    Unten rechts KachelX + 1 14542 KachelY + 1 21892 -0.35319908 -0.90138042 -20.236817 -51.645294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90126143--0.90138042) × R
    0.00011898999999993 × 6371000     		dl = 758.085289999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90126143--0.90138042) × R
    0.00011898999999993 × 6371000     		dr = 758.085289999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(-0.90126143) × R
    0.000191739999999996 × 0.620621361914522 × 6371000     		do = 758.135875316251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35339082--0.35319908) × cos(-0.90138042) × R
    0.000191739999999996 × 0.620528056224239 × 6371000     		du = 758.021895367258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90126143)-sin(-0.90138042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620621361914522-0.620528056224239)×R²
    abs(-0.35319908--0.35339082)×9.33056902828744e-05×R²
    0.000191739999999996×9.33056902828744e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.33056902828744e-05×40589641000000     		ar = 574688.45231521m²