Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14540 / 21919
↖ ↑ ↗
← S 51.828988°
W 20.258789°		 ← 754.99 m → S 51.828988°
W 20.247803°		 →
↑
754.96 m
↓
↑
754.96 m
↓
S 51.835778°
W 20.258789°		 ← 754.87 m →
569 944 m²		 S 51.835778°
W 20.247803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443740844726562 y=0.668930053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443740844726562 × 215)
    floor (0.443740844726562 × 32768)
    floor (14540.5)     		tx = 14540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668930053710938 × 215)
    floor (0.668930053710938 × 32768)
    floor (21919.5)     		ty = 21919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14540 / 21919 ti = "15/14540/21919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14540/21919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14540 ÷ 215
    14540 ÷ 32768     		x = 0.4437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21919 ÷ 215
    21919 ÷ 32768     		y = 0.668914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35358257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.33782958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06132295758804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35358257} λ = -0.35358257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06132295758804))-π/2
    2×atan(0.345997767039589)-π/2
    2×0.333104915944895-π/2
    0.66620983188979-1.57079632675     		φ = -0.90458649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35358257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90458649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.828988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14540 KachelY 21919 -0.35358257 -0.90458649 -20.258789 -51.828988
    Oben rechts KachelX + 1 14541 KachelY 21919 -0.35339082 -0.90458649 -20.247803 -51.828988
    Unten links KachelX 14540 KachelY + 1 21920 -0.35358257 -0.90470499 -20.258789 -51.835778
    Unten rechts KachelX + 1 14541 KachelY + 1 21920 -0.35339082 -0.90470499 -20.247803 -51.835778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90458649--0.90470499) × R
    0.000118500000000021 × 6371000     		dl = 754.963500000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90458649--0.90470499) × R
    0.000118500000000021 × 6371000     		dr = 754.963500000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35358257--0.35339082) × cos(-0.90458649) × R
    0.000191749999999991 × 0.61801072178077 × 6371000     		do = 754.986154648181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35358257--0.35339082) × cos(-0.90470499) × R
    0.000191749999999991 × 0.617917556336133 × 6371000     		du = 754.872340084269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90458649)-sin(-0.90470499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61801072178077-0.617917556336133)×R²
    abs(-0.35339082--0.35358257)×9.3165444636889e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3165444636889e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3165444636889e-05×40589641000000     		ar = 569944.027510276m²