Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14538 / 22152
↖ ↑ ↗
← S 53.383329°
W 20.280762°		 ← 728.66 m → S 53.383329°
W 20.269775°		 →
↑
728.59 m
↓
↑
728.59 m
↓
S 53.389881°
W 20.280762°		 ← 728.54 m →
530 850 m²		 S 53.389881°
W 20.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443679809570312 y=0.676040649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443679809570312 × 215)
    floor (0.443679809570312 × 32768)
    floor (14538.5)     		tx = 14538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676040649414062 × 215)
    floor (0.676040649414062 × 32768)
    floor (22152.5)     		ty = 22152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14538 / 22152 ti = "15/14538/22152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14538/22152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14538 ÷ 215
    14538 ÷ 32768     		x = 0.44366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22152 ÷ 215
    22152 ÷ 32768     		y = 0.676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35396607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.35205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10600014803394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35396607} λ = -0.35396607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10600014803394))-π/2
    2×atan(0.330879787928551)-π/2
    2×0.319540740563169-π/2
    0.639081481126338-1.57079632675     		φ = -0.93171485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35396607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93171485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.383329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14538 KachelY 22152 -0.35396607 -0.93171485 -20.280762 -53.383329
    Oben rechts KachelX + 1 14539 KachelY 22152 -0.35377432 -0.93171485 -20.269775 -53.383329
    Unten links KachelX 14538 KachelY + 1 22153 -0.35396607 -0.93182921 -20.280762 -53.389881
    Unten rechts KachelX + 1 14539 KachelY + 1 22153 -0.35377432 -0.93182921 -20.269775 -53.389881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93171485--0.93182921) × R
    0.00011435999999998 × 6371000     		dl = 728.587559999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93171485--0.93182921) × R
    0.00011435999999998 × 6371000     		dr = 728.587559999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35396607--0.35377432) × cos(-0.93171485) × R
    0.000191750000000046 × 0.596458445977293 × 6371000     		do = 728.657048600041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35396607--0.35377432) × cos(-0.93182921) × R
    0.000191750000000046 × 0.59636665171423 × 6371000     		du = 728.544909125358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93171485)-sin(-0.93182921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596458445977293-0.59636665171423)×R²
    abs(-0.35377432--0.35396607)×9.17942630633828e-05×R²
    0.000191750000000046×9.17942630633828e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.17942630633828e-05×40589641000000     		ar = 530849.609981706m²