Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14537 / 22295
↖ ↑ ↗
← S 54.310114°
W 20.291748°		 ← 712.66 m → S 54.310114°
W 20.280762°		 →
↑
712.66 m
↓
↑
712.66 m
↓
S 54.316523°
W 20.291748°		 ← 712.55 m →
507 848 m²		 S 54.316523°
W 20.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443649291992188 y=0.680404663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443649291992188 × 215)
    floor (0.443649291992188 × 32768)
    floor (14537.5)     		tx = 14537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680404663085938 × 215)
    floor (0.680404663085938 × 32768)
    floor (22295.5)     		ty = 22295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14537 / 22295 ti = "15/14537/22295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14537/22295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14537 ÷ 215
    14537 ÷ 32768     		x = 0.443634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22295 ÷ 215
    22295 ÷ 32768     		y = 0.680389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.11273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35415781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680389404296875 × 2 - 1) × π
    -0.36077880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13342005461661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35415781} λ = -0.35415781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13342005461661))-π/2
    2×atan(0.321930352113829)-π/2
    2×0.311453007230421-π/2
    0.622906014460843-1.57079632675     		φ = -0.94789031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35415781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94789031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.310114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14537 KachelY 22295 -0.35415781 -0.94789031 -20.291748 -54.310114
    Oben rechts KachelX + 1 14538 KachelY 22295 -0.35396607 -0.94789031 -20.280762 -54.310114
    Unten links KachelX 14537 KachelY + 1 22296 -0.35415781 -0.94800217 -20.291748 -54.316523
    Unten rechts KachelX + 1 14538 KachelY + 1 22296 -0.35396607 -0.94800217 -20.280762 -54.316523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94789031--0.94800217) × R
    0.000111859999999964 × 6371000     		dl = 712.660059999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94789031--0.94800217) × R
    0.000111859999999964 × 6371000     		dr = 712.660059999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35415781--0.35396607) × cos(-0.94789031) × R
    0.000191739999999996 × 0.583397848272506 × 6371000     		do = 712.664541538309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35415781--0.35396607) × cos(-0.94800217) × R
    0.000191739999999996 × 0.583306993438132 × 6371000     		du = 712.553555494947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94789031)-sin(-0.94800217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583397848272506-0.583306993438132)×R²
    abs(-0.35396607--0.35415781)×9.08548343739879e-05×R²
    0.000191739999999996×9.08548343739879e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.08548343739879e-05×40589641000000     		ar = 507848.007802205m²