Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14536 / 22292
↖ ↑ ↗
← S 54.290882°
W 20.302734°		 ← 713.03 m → S 54.290882°
W 20.291748°		 →
↑
712.98 m
↓
↑
712.98 m
↓
S 54.297294°
W 20.302734°		 ← 712.92 m →
508 339 m²		 S 54.297294°
W 20.291748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443618774414062 y=0.680313110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443618774414062 × 215)
    floor (0.443618774414062 × 32768)
    floor (14536.5)     		tx = 14536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680313110351562 × 215)
    floor (0.680313110351562 × 32768)
    floor (22292.5)     		ty = 22292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14536 / 22292 ti = "15/14536/22292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14536/22292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14536 ÷ 215
    14536 ÷ 32768     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22292 ÷ 215
    22292 ÷ 32768     		y = 0.6802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.360595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13284481182117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13284481182117))-π/2
    2×atan(0.322115593503796)-π/2
    2×0.311620844135294-π/2
    0.623241688270587-1.57079632675     		φ = -0.94755464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94755464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.290882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14536 KachelY 22292 -0.35434956 -0.94755464 -20.302734 -54.290882
    Oben rechts KachelX + 1 14537 KachelY 22292 -0.35415781 -0.94755464 -20.291748 -54.290882
    Unten links KachelX 14536 KachelY + 1 22293 -0.35434956 -0.94766655 -20.302734 -54.297294
    Unten rechts KachelX + 1 14537 KachelY + 1 22293 -0.35415781 -0.94766655 -20.291748 -54.297294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94755464--0.94766655) × R
    0.000111909999999993 × 6371000     		dl = 712.978609999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94755464--0.94766655) × R
    0.000111909999999993 × 6371000     		dr = 712.978609999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35415781) × cos(-0.94755464) × R
    0.000191749999999991 × 0.58367044205109 × 6371000     		do = 713.034721074426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35415781) × cos(-0.94766655) × R
    0.000191749999999991 × 0.58357956852278 × 6371000     		du = 712.923706405457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94755464)-sin(-0.94766655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58367044205109-0.58357956852278)×R²
    abs(-0.35415781--0.35434956)×9.08735283096096e-05×R²
    0.000191749999999991×9.08735283096096e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.08735283096096e-05×40589641000000     		ar = 508338.929301964m²