Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14536 / 22280
↖ ↑ ↗
← S 54.213861°
W 20.302734°		 ← 714.37 m → S 54.213861°
W 20.291748°		 →
↑
714.32 m
↓
↑
714.32 m
↓
S 54.220285°
W 20.302734°		 ← 714.26 m →
510 245 m²		 S 54.220285°
W 20.291748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443618774414062 y=0.679946899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443618774414062 × 215)
    floor (0.443618774414062 × 32768)
    floor (14536.5)     		tx = 14536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679946899414062 × 215)
    floor (0.679946899414062 × 32768)
    floor (22280.5)     		ty = 22280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14536 / 22280 ti = "15/14536/22280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14536/22280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14536 ÷ 215
    14536 ÷ 32768     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22280 ÷ 215
    22280 ÷ 32768     		y = 0.679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.35986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1305438406394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1305438406394))-π/2
    2×atan(0.322857625571457)-π/2
    2×0.312292976066995-π/2
    0.624585952133991-1.57079632675     		φ = -0.94621037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94621037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.213861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14536 KachelY 22280 -0.35434956 -0.94621037 -20.302734 -54.213861
    Oben rechts KachelX + 1 14537 KachelY 22280 -0.35415781 -0.94621037 -20.291748 -54.213861
    Unten links KachelX 14536 KachelY + 1 22281 -0.35434956 -0.94632249 -20.302734 -54.220285
    Unten rechts KachelX + 1 14537 KachelY + 1 22281 -0.35415781 -0.94632249 -20.291748 -54.220285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94621037--0.94632249) × R
    0.000112120000000049 × 6371000     		dl = 714.316520000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94621037--0.94632249) × R
    0.000112120000000049 × 6371000     		dr = 714.316520000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35415781) × cos(-0.94621037) × R
    0.000191749999999991 × 0.584761449028704 × 6371000     		do = 714.367538020304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35415781) × cos(-0.94632249) × R
    0.000191749999999991 × 0.58467049301455 × 6371000     		du = 714.25642258339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94621037)-sin(-0.94632249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584761449028704-0.58467049301455)×R²
    abs(-0.35415781--0.35434956)×9.09560141534316e-05×R²
    0.000191749999999991×9.09560141534316e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.09560141534316e-05×40589641000000     		ar = 510244.848498242m²